Bài 33. Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác

Bài 33. Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác - SGK Toán 7 - Kết nối tri thức

Trong hình học, tam giác là một trong những hình cơ bản và quan trọng nhất. Việc hiểu rõ các tính chất và mối quan hệ giữa các yếu tố của tam giác là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán phức tạp hơn. Bài 33 trong sách Kết nối tri thức Toán 7 tập 2 tập trung vào một tính chất quan trọng của tam giác: mối quan hệ giữa độ dài ba cạnh của nó.

1. Bất đẳng thức tam giác

Bất đẳng thức tam giác là một nguyên tắc cơ bản trong hình học, phát biểu rằng tổng độ dài của hai cạnh bất kỳ trong một tam giác luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại. Điều này có nghĩa là:

• a + b > c
• a + c > b
• b + c > a

Trong đó a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác.

Chứng minh bất đẳng thức tam giác:

Xét tam giác ABC. Theo tính chất của đường trung tuyến, ta có:

• Trong tam giác ABC, lấy điểm M là trung điểm của BC.
• Khi đó, AM là đường trung tuyến.
• Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác ABM, ta có: AB + BM > AM
• Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác ACM, ta có: AC + CM > AM
• Cộng hai bất đẳng thức trên, ta được: AB + BM + AC + CM > 2AM
• Vì BM = CM = BC/2, nên: AB + AC + BC/2 + BC/2 > 2AM
• Suy ra: AB + AC + BC > 2AM
• Tuy nhiên, điều này chưa đủ để chứng minh bất đẳng thức tam giác.

Một cách chứng minh khác, dựa trên việc xét vị trí tương đối của ba điểm:

Giả sử A, B, C là ba điểm không thẳng hàng. Khi đó, chúng tạo thành một tam giác. Để đi từ B đến C, ta có thể đi qua A. Theo tính chất của đường thẳng, độ dài đoạn thẳng BA + AC luôn lớn hơn độ dài đoạn thẳng BC. Tương tự, ta có thể chứng minh các bất đẳng thức còn lại.

2. Ứng dụng của bất đẳng thức tam giác

Bất đẳng thức tam giác có nhiều ứng dụng trong việc giải các bài toán liên quan đến tam giác, ví dụ:

• Kiểm tra xem ba đoạn thẳng có thể tạo thành một tam giác hay không: Nếu ba đoạn thẳng có độ dài a, b, c thỏa mãn bất đẳng thức tam giác (a + b > c, a + c > b, b + c > a) thì chúng có thể tạo thành một tam giác.
• Tìm giới hạn của độ dài một cạnh: Nếu biết độ dài hai cạnh của một tam giác, ta có thể sử dụng bất đẳng thức tam giác để tìm giới hạn của độ dài cạnh còn lại.
• Giải các bài toán thực tế: Bất đẳng thức tam giác được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực thực tế như xây dựng, hàng hải, đo đạc,...

3. Bài tập ví dụ

Bài tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 3cm, BC = 5cm. Tìm giới hạn của độ dài cạnh AC.

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có:

• AB + BC > AC => 3 + 5 > AC => AC < 8
• AB + AC > BC => 3 + AC > 5 => AC > 2
• BC + AC > AB => 5 + AC > 3 => AC > -2 (luôn đúng vì AC là độ dài cạnh)

Vậy, 2 < AC < 8.

Bài tập 2: Ba đoạn thẳng có độ dài 2cm, 3cm, 6cm có thể tạo thành một tam giác được không? Vì sao?

Giải:

Ta có: 2 + 3 = 5 < 6. Do đó, ba đoạn thẳng này không thể tạo thành một tam giác vì không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác.

4. Kết luận

Bài 33 đã cung cấp cho chúng ta một công cụ quan trọng trong việc nghiên cứu và giải quyết các bài toán liên quan đến tam giác: bất đẳng thức tam giác. Việc nắm vững và hiểu rõ nguyên tắc này sẽ giúp các em học sinh giải quyết các bài toán một cách hiệu quả và chính xác hơn.

Loigiai.com.vn hy vọng với lời giải chi tiết và các ví dụ minh họa trên, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về Bài 33. Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác - SGK Toán 7 - Kết nối tri thức. Chúc các em học tập tốt!