Bài 5. Đường trung trực của một đoạn thẳng

Bài 5. Đường trung trực của một đoạn thẳng - Giải chi tiết SGK Toán 7 Chân trời sáng tạo

1. Khái niệm đường trung trực

Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng đó tại trung điểm của nó. Nói cách khác, nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB, thì đường thẳng d vuông góc với AB tại M được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Ví dụ: Cho đoạn thẳng CD có trung điểm I. Đường thẳng d đi qua I và vuông góc với CD là đường trung trực của đoạn thẳng CD.

2. Tính chất của đường trung trực

Một điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó. Ngược lại, một điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Chứng minh:

1. Chiều thuận: Cho điểm M nằm trên đường trung trực d của đoạn thẳng AB. Gọi I là giao điểm của d và AB. Ta có AI = BI (vì I là trung điểm của AB) và góc AIM = góc BIM = 90 độ (vì d vuông góc với AB). Xét hai tam giác vuông AIM và BIM, ta có:
• AI = BI (cmt)
• IM là cạnh chung
• Góc AIM = góc BIM = 90 độ
2. Suy ra tam giác AIM = tam giác BIM (cạnh góc vuông - cạnh góc vuông). Do đó, AM = BM. Vậy M cách đều hai mút A và B của đoạn thẳng AB.
3. Chiều nghịch: Cho điểm M cách đều hai mút A và B của đoạn thẳng AB (AM = BM). Gọi I là trung điểm của AB. Xét hai tam giác AIM và BIM, ta có:
• AI = BI (vì I là trung điểm của AB)
• AM = BM (gt)
• IM là cạnh chung
4. Suy ra tam giác AIM = tam giác BIM (cạnh - cạnh - cạnh). Do đó, góc AIM = góc BIM. Mà góc AIM + góc BIM = 180 độ (vì A, I, B thẳng hàng). Vậy góc AIM = góc BIM = 90 độ. Do đó, IM vuông góc với AB tại I. Vậy M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.

3. Ứng dụng của đường trung trực

Đường trung trực được sử dụng để:

• Xác định trung điểm của một đoạn thẳng.
• Vẽ đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại trung điểm của nó.
• Giải các bài toán liên quan đến tính chất cách đều của các điểm trên đường trung trực.

4. Bài tập áp dụng

Bài 1: Cho đoạn thẳng MN dài 6cm. Vẽ đường trung trực của đoạn thẳng MN.

Hướng dẫn:

1. Vẽ trung điểm I của đoạn thẳng MN.
2. Dùng thước kẻ vẽ đường thẳng d đi qua I và vuông góc với MN. Đường thẳng d chính là đường trung trực của đoạn thẳng MN.

Bài 2: Cho tam giác ABC, điểm M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC. Chứng minh rằng MA = MB.

Hướng dẫn:

Sử dụng tính chất của đường trung trực: Một điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.

5. Luyện tập thêm

Các em có thể tìm thêm các bài tập tương tự trong sách giáo khoa và các tài liệu tham khảo khác để rèn luyện kỹ năng giải toán về đường trung trực của một đoạn thẳng.

Loigiai.com.vn hy vọng với lời giải chi tiết và những kiến thức được trình bày trên đây, các em sẽ hiểu rõ hơn về Bài 5. Đường trung trực của một đoạn thẳng và tự tin giải các bài tập liên quan. Chúc các em học tốt!