định nghĩa và tính chất của hàm số bậc nhất

Bài viết trình bày định nghĩa và tính chất của hàm số bậc nhất cùng phương pháp giải một số dạng bài tập liên quan trong chương trình Đại số 9.

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Định nghĩa

Hàm số bậc nhất là các hàm số được cho bởi công thức \(y = ax + b\), trong đó \(a\), \(b\) là các số cho trước và \(a \ne 0.\)

2. Tính chất

Hàm số bậc nhất \(y = ax + b\) xác định với mọi \(x \in R\) và có tính chất:

+ Đồng biến trên \(R\) khi \(a /> 0.\)

+ Nghịch biến trên \(R\) khi \(a < 0.\)

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1. NHẬN DẠNG HÀM SỐ BẬC NHẤT.

I. Phương pháp giải

1. Viết lại hàm số thành \(y = ax + b\) (tổng của hai hạng tử). Nếu thiếu hạng tử tự do điền số \(0\), thiếu hệ số điền số \(1.\)

2. Xác định các hệ số: \(a\) là hệ số của biến \(x\), \(b\) là hạng tử tự do (không chứa biến).

3. Nếu \(a /> 0\) hàm số đồng biến, nếu \(a < 0\) hàm số nghịch biến.

II. Ví dụ

Ví dụ 1: Trong các hàm số sau hàm số nào là hàm số bậc nhất? Hãy xác định các hệ số \(a\), \(b\) của chúng và xét xem hàm số nào đồng biến, nghịch biến.

a) \(y = 1 – 5x.\)

b) \(y = -0,5x.\)

c) \(y = \sqrt 2 (x – 1) + \sqrt 3 .\)

d) \(y = 2{x^2} + 3.\)

e) \(y = 4a + 1\) với \(a\) là hằng số.

a) Viết lại thành: \(y = -5x + 1.\) Đây là hàm số bậc nhất có \(a = -5\), \(b = 1.\)

Vì \(a = -5 < 0\) nên hàm số này là hàm nghịch biến.

b) Viết lại thành: \(y = -0,5x + 0.\) Đây là hàm số bậc nhất có \(a = -0,5\), \(b = 0.\)

Vì \(a = -0,5 < 0\) nên hàm số này là hàm nghịch biến.

c) Viết lại thành: \(y = \sqrt 2 x + \sqrt 3 – \sqrt 2 .\) Đây là hàm số bậc nhất có \(a = \sqrt 2 \), \(b = \sqrt 3 – \sqrt 2 .\) Vì \(a = \sqrt 2 /> 0\) nên hàm số này đồng biến.

d) Hàm số \(y = 2{x^2} + 3\) không phải là hàm số bậc nhất.

e) Hàm số là hàm hằng, không phải bậc nhất.

Ví dụ 2: Với những giá trị nào của \(m\) thì mỗi hàm số sau là hàm bậc nhất?

a) \(y = \sqrt {5 – m} (x – 1).\)

b) \(y = \frac{{m + 1}}{{m – 1}}x + 3,5.\)

a) Viết lại thành \(y = \sqrt {5 – m} x – \sqrt {5 – m} .\) Đây là hàm số dạng bậc nhất có: \(a = \sqrt {5 – m} \) và \(b = – \sqrt {5 – m} .\)

Hàm số này trở thành hàm bậc nhất \( \Leftrightarrow a = \sqrt {5 – m} \ne 0\) \( \Leftrightarrow 5 – m /> 0\) \( \Leftrightarrow 5 /> m.\)

Vậy \(m < 5\) là giá trị cần tìm.

b) Hàm số \(y = \frac{{m + 1}}{{m – 1}}x + 3,5\) là hàm số dạng bậc nhất có \(a = \frac{{m + 1}}{{m – 1}}\), \(b = 3,5.\)

Hàm số này trở thành hàm bậc nhất \( \Leftrightarrow a = \frac{{m + 1}}{{m – 1}} \ne 0\) \( \Leftrightarrow m \ne \pm 1.\)

Vậy \(m \ne \pm 1\) là giá trị cần tìm.

Ví dụ 3: Cho hàm số bậc nhất \(y = (m – 1)x + 2\) \((m \ne 1).\)

a) Tìm giá trị của \(m\) để hàm số \(y\) là đồng biến.

b) Tìm giá trị của \(m\) để hàm số \(y\) là nghịch biến.

a) Hàm số bậc nhất \(y = (m – 1)x + 2\) có \(a = m – 1\), \(b = 2.\)

Hàm số này đồng biến \( \Leftrightarrow a = m – 1 /> 0\) \( \Leftrightarrow m /> 1.\)

Vậy \(m /> 1\) là giá trị cần tìm.

b) Hàm số bậc nhất \(y = (m – 1)x + 2\) có \(a = m – 1\), \(b = 2.\)

Hàm số này nghịch biến \( \Leftrightarrow a = m – 1 < 0\) \( \Leftrightarrow m < 1.\)

Vậy \(m < 1\) là giá trị cần tìm.

III. Bài tập

1. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc nhất? Hãy xác định các hệ số \(a\), \(b\) và xét xem hàm số nào là đồng biến, hàm số nào là nghịch biến.

a) \(y = 2 – 0,3x.\)

b) \(y = \frac{3}{2}x.\)

c) \(y = 4 – {x^2}.\)

d) \(y = (\sqrt 3 – 1)x + 2.\)

e) \(y = \sqrt 3 (\sqrt 2 – x).\)

f) \(y + \sqrt 3 = x – \sqrt 2 .\)

g) \(y = a + \sqrt 3 \) với \(a\) là hằng số.

2. Với các giá trị nào của \(m\) thì mỗi hàm số sau là hàm số bậc nhất?

a) \(y = \frac{1}{{{m^2} – 1}}(2x – 1).\)

b) \(y = \sqrt {1 – 2m} (x + 3).\)

3. Với những giá trị nào của \(m\) thì mỗi hàm số bậc nhất sau đây là hàm nghịch biến?

a) \(y = – {m^2}x + 1.\)

b) \(y = (1 – 3m)x – 2.\)

Dạng 2. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ BẬC NHẤT – GIÁ TRỊ CỦA BIẾN SỐ.

I. Phương pháp giải

1. Muốn tính giá trị của hàm số \(y = f(x)\) tại \(x = {x_0}\) ta thay \(x = {x_0}\) vào công thức của hàm số rồi tính giá trị của \(f\left( {{x_0}} \right).\)

2. Muốn tính giá trị biến \(x\) của hàm số \(y = f(x)\) tại \(y = f\left( {{x_0}} \right).\) Ta thay \(y = f\left( {{x_0}} \right)\) vào công thức của hàm số rồi giải phương trình ẩn \(x.\)

II. Ví dụ

Ví dụ 1: Cho hàm số bậc nhất \(y = (1 – \sqrt 5 )x – 1.\)

a) Hàm số trên là đồng biến hay nghịch biến trên tập hợp số thực \(R\)? Vì sao?

b) Tính giá trị của \(y\) khi \(x = 1 + \sqrt 5 .\)

c) Tính giá trị của \(x\) khi \(y = \sqrt 5 .\)

a) Hàm số bậc nhất \(y = (1 – \sqrt 5 )x – 1\) là nghịch biến trên tập hợp số thực \(R\) vì \(a = 1 – \sqrt 5 < 0.\)

b) Thay \(x = 1 + \sqrt 5 \) vào công thức của hàm số ta được:

\(y = (1 – \sqrt 5 )(1 + \sqrt 5 ) – 1\) \( = 1 – {(\sqrt 5 )^2} – 1\) \( = 1 – 5 – 1 = – 5.\)

c) Thay \(y = \sqrt 5 \) vào công thức của hàm số ta thu được:

\(\sqrt 5 = (1 – \sqrt 5 )x – 1\) \( \Leftrightarrow \sqrt 5 + 1 = (1 – \sqrt 5 )x\) \( \Leftrightarrow x = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{{1 – \sqrt 5 }} = \frac{{{{(1 + \sqrt 5 )}^2}}}{{1 – {{(\sqrt 5 )}^2}}}\) \( = \frac{{1 + 5 + 2\sqrt 5 }}{{1 – 5}} = – \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}.\)

Ví dụ 2: Tìm trên mặt phẳng toạ độ tất cả các điểm:

a) Có tung độ bằng \(3.\)

b) Có hoành độ bằng \(2.\)

c) Có tung độ bằng \(0.\)

d) Có hoành độ bằng \(0.\)

e) Có hoành độ và tung độ bằng nhau.

f) Có hoành độ và tung độ đối nhau.

a) Đường thẳng \(y = 3.\)

b) Các điểm có hoành độ bằng \(2\) là các điểm có hoành độ \(x\) bằng \(2\), còn tung độ tuỳ ý. Đó là các điểm \(A(2;0)\), \(B(2;1)\), \(C(2;2)\), \(D(2;3)\) ….

Nối các điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) trên mặt phẳng toạ độ ta được đường thẳng \(x = 2.\)

c) Các điểm có tung độ bằng \(0\) là các điểm có tung độ \(y = 0\) còn hoành độ tuỳ ý. Đó là các điểm \(E(1;0)\), \(F(2;0)\), \(G(-1;0)\), \(H(-2;0).\)

Ta thấy \(E\), \(F\), \(G\), \(H\) đều nằm trên trục hoành \(Ox.\) Ta có đường thẳng \(y = 0.\)

d) Các điểm có hoành độ bằng \(0\) là các điểm có hoành độ \(x = 0\) còn tung độ tuỳ ý. Đó là các điểm \(I(0;1)\), \(J(0;-1)\), \(K(0;3)\), \(Q(0;-3).\)

Ta thấy \(I\), \(J\), \(K\), \(Q\) đều nằm trên trục tung \(Oy.\) Ta có đường thẳng \(x = 0.\)

e) Tập hợp các điểm trên mặt phẳng toạ độ có hoành độ và tung độ bằng nhau là tập hợp các điểm thoả mãn phương trình \(y = x.\) Đó là đường phân giác của góc phần tư thứ \((I)\) và thứ \((III).\)

f) Tập hợp các điểm trên mặt phẳng toạ độ có hoành độ và tung độ đối nhau là tập hợp các điểm thoả mãn phương trình \(y = -x.\) Đó là đường phân giác của góc phần tư thứ \((II)\) và thứ \((IV).\)

III. Bài tập

4. Cho hàm số \(y = (3 + \sqrt 2 )x + 2.\)

a) Tính giá trị tương ứng của \(y\) khi cho \(x\) nhận các giá trị sau:

\(0\), \(1\), \(\sqrt 2 \), \(3 – \sqrt 2 \), \(3 + \sqrt 2 .\)

b) Tính giá trị tương ứng của \(x\) khi cho \(y\) nhận các giá trị sau:

\(0\), \(1\), \(4\), \(2 – \sqrt 2 \), \(2 + \sqrt 2 .\)

Dạng 3. LẬP CÔNG THỨC MỘT HÀM SỐ.

I. Phương pháp giải

1. Xác định công thức tính chu vi, diện tích một số hình như hình chữ nhật, hình thoi, đường tròn, hình thang, tam giác ….

2. Biểu diễn các đại lượng theo biến số.

3. Lập công thức hàm số.

II. Ví dụ

Ví dụ 1: Một hình chữ nhật có các kích thước là \(20\) cm và \(30\) cm. Người ta bớt mỗi kích thước của hình chữ nhật đó đi \(x\) (cm). Gọi chu vi của hình chữ nhật mới là \(y\) (cm). Hãy lập công thức tính chu vi \(y\) của hình chữ nhật mới theo \(x.\)

Nếu bớt mỗi kích thước của hình chữ nhật đó đi \(x\) (cm) thì các kích thước của hình chữ nhật mới là \(20 – x\) và \(30 – x.\) Vậy công thức tính chu vi \(y\) của hình chữ nhật mới là:

\(y = 2(20 – x + 30 – x)\) \( = 2(50 – 2x)\) hay \(y = 100 – 4x.\)

Ví dụ 2: Hãy lập công thức tính diện tích \(y\) (\({m^2}\)) của một thửa ruộng hình thang có đường trung bình là \(x\) (m) và chiều cao là \(15\) m.

Vì \({S_{{\rm{hình\:thang}}}} = \frac{{(a + b)}}{2}h\) trong đó \(a\), \(b\) là hai đáy và \(h\) là chiều cao.

Lại có: \(\frac{{a + b}}{2} = x\) là đường trung bình.

Vậy công thức tính diện tích của thửa ruộng hình thang là \(y = 15x.\)

III. Bài tập

5. Hãy lập công thức biểu thị \(y\) theo \(x\) được cho dưới đây. Công thức nào là hàm số bậc nhất?

a) Diện tích tam giác \(y\) (\(c{m^2}\)) có đáy là \(x\) (cm) và chiều cao tương ứng là \(5\) (cm).

b) Chu vi \(y\) của hình thoi và cạnh \(x\) của nó.

c) Diện tích \(y\) (\(m^{2}\)) của hình vuông với cạnh \(x\) (m).

d) Chu vi \(y\) của đường tròn với bán kính \(x\) của nó.