phương trình lượng giác cơ bản

Bài viết hướng dẫn phương pháp giải và biện luận các phương trình lượng giác cơ bản: \(\sin x = m\), \(\cos x = m\), \(\tan x = m\), \(cot x = m.\)

1. Giải và biện luận phương trình lượng giác \(\sin x = m\)

Do \(\sin x \in \left[ { – 1;1} \right]\) nên để giải phương trình \(\sin x = m\) ta đi biện luận theo các bước sau:

• Bước 1: Nếu \(|m| /> 1\) thì phương trình vô nghiệm.

• Bước 2: Nếu \(|m| ≤ 1\), ta xét 2 khả năng:

+ Khả năng 1: Nếu \(m\) được biểu diễn qua \(sin\) của góc đặc biệt, giả sử \(\alpha \), khi đó phương trình sẽ có dạng: \(\sin x = \sin \alpha \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}

x = \alpha + k2\pi \\

x = \pi – \alpha + k2\pi

\end{array} \right.\) \(\left( {k \in Z} \right).\)

+ Khả năng 2: Nếu \(m\) không biểu diễn được qua \(sin\) của góc đặc biệt, khi đó đặt \(m = \sin \alpha \). Ta có: \(\sin x = \sin \alpha \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}

x = \alpha + k2\pi \\

x = \pi – \alpha + k2\pi

\end{array} \right.\) \(\left( {k \in Z} \right).\)

Chú ý: Nếu \(α\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}

– \frac{\pi }{2} \le \alpha \le \frac{\pi }{2}\\

\sin \alpha = m

\end{array} \right.\) thì ta viết \(\alpha = \arcsin m.\)

Các trường hợp đặc biệt:

1. \(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi .\)

2. \(\sin x = – 1 \Leftrightarrow x = – \frac{\pi }{2} + k2\pi .\)

3. \(\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi .\)

Ví dụ 1: Giải phương trình: \(\sin (3x + \frac{\pi }{4}) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)

Do \(\sin \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) nên: \(\sin (3x + \frac{\pi }{4}) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) \( \Leftrightarrow \sin (3x + \frac{\pi }{4}) = \sin \frac{\pi }{3}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}

3x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\

3x + \frac{\pi }{4} = \pi – \frac{\pi }{3} + k2\pi

\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}

3x = – \frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{3} + k2\pi \\

3x = \pi – \frac{\pi }{3} – \frac{\pi }{4} + k2\pi

\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}

x = \frac{\pi }{{24}} + k\frac{{2\pi }}{3}\\

x = \frac{{5\pi }}{{24}} + k\frac{{2\pi }}{3}

\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right).\)

Vậy phương trình có hai họ nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}

x = \frac{\pi }{{24}} + k\frac{{2\pi }}{3}\\

x = \frac{{5\pi }}{{24}} + k\frac{{2\pi }}{3}

\end{array} \right. (k \in Z).\)

Ví dụ 2: Giải phương trình \(\sin x = \frac{1}{4}.\)

Ta nhận thấy \(\frac{1}{4}\) không là giá trị của cung đặc biệt nào.

Ta có: \(\sin x = \frac{1}{4}\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}

x = \arcsin \frac{1}{4} + k2\pi \\

x = \pi – \arcsin \frac{1}{4} + k2\pi

\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right).\)

Vậy phương trình có 2 họ ngiệm \(\left[ \begin{array}{l}

x = \arcsin \frac{1}{4} + k2\pi \\

x = \pi – \arcsin \frac{1}{4} + k2\pi

\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right).\)

2. Giải và biện luận phương trình lượng giác \(\cos x = m\)

Ta biện luận phương trình \(\cos x = m\) theo \(m\):

• Bước 1: Nếu \(\left| m \right| /> 1\) thì phương trình vô nghiệm.

• Bước 2: Nếu \(\left| m \right| \le 1\), ta xét 2 khả năng:

+ Khả năng 1: Nếu \(m\) được biểu diễn qua \(cos\) của góc đặc biệt, giả sử góc \(\alpha \), khi đó phương trình có dạng: \(\cos x = \cos \alpha \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}

x = \alpha + k2\pi \\

x = – \alpha + k2\pi

\end{array} \right.\) \(\left( {k \in Z} \right).\)

+ Khả năng 2: Nếu \(m\) không biểu diễn được qua \(cos\) của góc đặc biệt, khi đó đặt \(m = \cos \alpha \), ta có: \(\cos x = \cos \alpha \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}

x = \alpha + k2\pi \\

x = – \alpha + k2\pi

\end{array} \right.\) \(\left( {k \in Z} \right).\)

Chú ý: Nếu \(α\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}

0 \le – \alpha \le \pi \\

\cos \alpha = m

\end{array} \right.\) thì ta viết \(\alpha = \arccos m.\)

Các trường hợp đặc biệt:

1. \(\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi .\)

2. \(\cos x = – 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi .\)

3. \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi .\)

Ví dụ 3: Giải phương trình: \(\cos x = – \frac{1}{2}.\)

Do \( – \frac{1}{2} = \cos \frac{{2\pi }}{3}\) nên \(\cos x = – \frac{1}{2}\) \( \Leftrightarrow \cos x = \cos \frac{{2\pi }}{3}\) \( \Leftrightarrow x = \pm \frac{2\pi }{3} + k2\pi (k \in Z).\)

Vậy phương trình có 2 họ nghiệm \(x = \pm \frac{2\pi }{3} + k2\pi (k \in Z).\)

Ví dụ 4: Giải phương trình: \(3\cos (2x + \frac{\pi }{6}) = 1.\)

Ta có: \(3\cos (2x + \frac{\pi }{6}) = 1\) \( \Leftrightarrow \cos (2x + \frac{\pi }{6}) = \frac{1}{3}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}

2x + \frac{\pi }{6} = \arccos \frac{1}{3} + k2\pi \\

2x + \frac{\pi }{6} = – \arccos \frac{1}{3} + k2\pi

\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}

x = \frac{{ – \pi }}{{12}} + \frac{{\arccos \frac{1}{3}}}{2} + k\pi \\

x = \frac{{ – \pi }}{{12}} – \frac{{\arccos \frac{1}{3}}}{2} + k\pi

\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right).\)

Vậy phương trình có hai họ nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}

x = \frac{{ – \pi }}{{12}} + \frac{{\arccos \frac{1}{3}}}{2} + k\pi \\

x = \frac{{ – \pi }}{{12}} – \frac{{\arccos \frac{1}{3}}}{2} + k\pi

\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right).\)

[ads]

3. Giải và biện luận phương trình lượng giác \(\tan x = m\)

• Bước 1: Đặt điều kiện \(\cos x \ne 0\) \( \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \) \(\left( {k \in Z} \right).\)

• Bước 2: Xét 2 khả năng:

+ Khả năng 1: Nếu \(m\) được biểu diễn qua \(tan\) của góc đặc biệt, giả sử \(\alpha \), khi đó phương trình có dạng: \(\tan x = \tan \alpha \) \( \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \) \((k \in Z).\)

+ Khả năng 2: Nếu \(m\) không biểu diễn được qua \(tan\) của góc đặc biệt, khi đó đặt \(m = \tan \alpha \), ta được: \(\tan x = \tan \alpha \) \( \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \) \(\left( {k \in Z} \right).\)

Chú ý: Nếu \(α\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}

– \frac{\pi }{2} < \alpha < \frac{\pi }{2}\\

\tan \alpha = m

\end{array} \right.\) thì ta viết \(\alpha = \arctan m.\)

Các trường hợp đặc biệt:

1. \(\tan x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi .\)

2. \(\tan x = – 1 \Leftrightarrow x = – \frac{\pi }{4} + k\pi .\)

3. \(\tan x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi .\)

Ví dụ 5: Giải phương trình \(\tan x = \sqrt 3 .\)

Do \(\sqrt 3 = \tan \frac{\pi }{6}\) nên ta có: \(\tan x = \sqrt 3 \) \( \Leftrightarrow \tan x = \tan \frac{\pi }{6}\) \( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\pi \) \(\left( {k \in Z} \right).\)

Vậy phương trình có 1 họ nghiệm \(x = \frac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in Z} \right).\)

Ví dụ 6: Giải phương trình \(\tan (\frac{\pi }{5} – x) = 2.\)

Điều kiện: \(\cos (\frac{\pi }{5} – x) \ne 0\) \( \Leftrightarrow \frac{\pi }{5} – x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \) \((k ∈ Z).\)

Ta có: \(\tan (\frac{\pi }{5} – x) = 2\) \( \Leftrightarrow \frac{\pi }{5} – x = \arctan 2 + k\pi \) \( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{5} – \arctan 2 – k\pi \) \((k \in Z).\)

Vậy phương trình có một họ nghiệm \( x = \frac{\pi }{5} – \arctan 2 – k\pi \) \((k \in Z).\)

4. Giải và biện luận phương trình lượng giác \(\cot x = m\)

• Bước 1: Đặt điều kiện \(\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi \) \(\left( {k \in Z} \right).\)

• Bước 2: Xét 2 khả năng:

+ Khả năng 1: Nếu \(m\) được biểu diễn qua \(cot\) của góc đặc biệt, giả sử \(\alpha \), khi đó phương trình có dạng: \(\cot x = \cot \alpha \) \( \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \) \(\left( {k \in Z} \right).\)

+ Khả năng 2: Nếu \(m\) không biểu diễn được qua \(cot\) của góc đặc biệt, khi đó đặt \(m = \cot \alpha \) ta được: \(\cot x = \cot \alpha \) \( \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \) \(\left( {k \in Z} \right).\)

Chú ý: Nếu \(α\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}

– \frac{\pi }{2} < \alpha < \frac{\pi }{2}\\

\cot \alpha = m

\end{array} \right.\) thì ta viết \(\alpha = arccot m.\)

Các trường hợp đặc biệt:

1. \(\cot x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi .\)

2. \(co{\mathop{\rm t}\nolimits} x = – 1 \Leftrightarrow x = – \frac{\pi }{4} + k\pi .\)

3. \(\cot x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi .\)

Ví dụ 7: Giải phương trình \(\cot (\frac{\pi }{4} – x) = \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\)

Điều kiện \(\cos (\frac{\pi }{4} – x) \ne 0\) \( \Leftrightarrow \frac{\pi }{4} – x \ne k\pi \) \( \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{4} – k\pi \) \(\left( {k \in Z} \right).\)

Ta có: \(\cot (\frac{\pi }{4} – x) = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) \(⇔ \cot (\frac{\pi }{4} – x) = \cot \frac{\pi }{3}\) \( \Leftrightarrow \frac{\pi }{4} – x = \frac{\pi }{3} + k\pi \) \( \Leftrightarrow x = – \frac{\pi }{{12}} – k\pi \) \(\left( {k \in Z} \right)\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình có 1 họ nghiệm \( x = – \frac{\pi }{{12}} – k\pi \) \(\left( {k \in Z} \right).\)

Ví dụ 8: Giải phương trình \(\cot (4x + {35^o}) = – 1.\)

Điều kiện \(4x + {35^o} \ne k{180^o}\) \((k ∈ Z).\)

Ta có: \(\cot (4x + {35^o}) = – 1\) \( \Leftrightarrow \cot (4x + {35^o}) = \cot ( – {45^o})\) \( \Leftrightarrow 4x + {35^o} = – {45^o} + k{180^o}\) \( \Leftrightarrow 4x = – {80^o} + k{180^o}\) \( \Leftrightarrow x = – {20^o} + k{45^o}\) \((k \in Z).\)

Vậy phương trình có 1 họ nghiệm \( x = – {20^o} + k{45^o}\) \((k \in Z).\)