áp dụng bất đẳng thức cô-si chứng minh bất đẳng thức, tìm gtln – gtnn

Tài liệu gồm 91 trang, được trích từ cuốn sách Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức của các tác giả: Nguyễn Công Lợi, Đào Quốc Chung, Đào Quốc Dũng, Phạm Kim Chung (diễn đàn Toán THPT K2PI), hướng dẫn áp dụng bất đẳng thức Cô-si (BĐT Cauchy, BĐT AM – GM, BĐT giữa trung bình cộng và trung bình nhân) chứng minh bất đẳng thức, tìm GTLN – GTNN (giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất).

Khái quát nội dung tài liệu áp dụng bất đẳng thức Cô-si chứng minh bất đẳng thức, tìm GTLN – GTNN:

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Giới thiệu bất đẳng thức Cauchy(Côsi).

2. Các dạng biểu diễn của bất đẳng thức Cauchy.

B. MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

1. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân.

Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân thực chất đánh giá bất đẳng thức Cauchy theo chiều từ phía trái sang phía phải.

2. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng.

Đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng chính là đánh giá bất đẳng thức Cauchy theo chiều từ phía phải sang phía trái. Trong chuỗi đánh giá đó ta cũng cần phải bảo toàn dấu đẳng thức xảy ra.

3. Kỹ thuật ghép cặp trong bất đẳng thức Cauchy.

Trong nhiều bài toán mà biểu thức ở hai vế tương đối phức tạp, việc chứng minh trực tiếp trở nên khó khăn thì ta có thể sử dụng kỹ thuật “Ghép cặp” để bài toán trở nên đơn giản.

[ads]

4. Kỹ thuật thêm bớt.

Nếu ở các kỹ thuật trên, ta được rèn luyện thói quen định hướng dựa vào bề ngoài của một bài toán. Thì từ đây ta bắt đầu gặp những lớp bất đẳng thức phong phú hơn – những bất đẳng thức mà lời giải cho chúng luôn đòi hỏi một tầm nhìn bao quát cũng như sự đột phá ý tưởng. Kỹ thuật thêm bớt là một minh chứng rõ ràng nhất cho lối tư duy sử dụng những “yếu tố bên ngoài” trong việc giải quyết vấn đề.

5. Kỹ thuật Cauchy ngược dấu.

Trong quá trình tìm lời giải cho một bài toán bất đẳng thức, một sai lầm thường gặp đó là sau một loạt các đánh giá ta thu được một bất đẳng thức ngược chiều. Điều này làm không ít người cảm thấy nản lòng. Lúc này nếu ta bình tĩnh suy nghĩ một chút thì thấy với đánh giá ngược chiều bằng cách nào đó ta thêm vào trước một dấu âm thì lập tức đánh giá đó sẽ cùng chiều. Sử dụng ý tưởng tương tự như kỹ thuật thêm bớt, thậm chí có phần khéo léo hơn, kỹ thuật Cauchy ngược dấu đã chứng tỏ sự đột phá đơn giản nhưng đem lại hiệu quả bất ngờ đến ngạc nhiên khi giải quyết lớp bất đẳng thức hoán vị chặt và khó.

6. Kỹ thuật đổi biến số.

Trong bất đẳng thức, có một quy luật chung, đó là “Trong một dạng cụ thể, thì những bất đẳng thức càng nhiều biến càng khó”. Điều này cũng đồng nghĩa với việc khẳng định “Bài toán sẽ trở nên đơn giản hơn nếu ta đưa được một bất đẳng thức nhiều biến về dạng ít biến hơn”. Kỹ thuật đổi biến chính là một công cụ hữu ích để thực hiện ý tưởng này.