áp dụng công thức moa-vrơ để tính căn bậc n của số phức

Bài viết hướng dẫn cách áp dụng công thức Moa-vrơ (Moivre) để tính căn bậc \(n\) của số phức thông qua quá trình thiết lập công thức tổng quát và các ví dụ minh họa đi kèm có lời giải chi tiết.

Xem thêm:

+ Viết số phức dưới dạng lượng giác

+ Tìm căn bậc hai của một số phức

Phương pháp

1. Tính căn bậc hai của số phức

Căn bậc hai của số phức \(z\) là số phức \(w\) thỏa \({w^2} = z\).

+ Căn bậc hai của \(0\) bằng \(0.\)

+ Với \(z \ne 0\) và \(z = r(c{\rm{os}}\varphi + i \sin \varphi )\) với \(r /> 0.\)

Đặt \(w = R(c{\rm{os}}\theta + i \sin \theta )\) với \(R /> 0\) thì:

\({{\rm{w}}^2} = z\) ⇔ \({R^2}(c{\rm{os}}2\theta + i \sin 2\theta ) = r(c{\rm{os}}\varphi + i \sin \varphi )\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}

{R^2} = r\\

2\theta = \varphi + k2\pi , k \in Z

\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}

R = \sqrt r \\

\theta = \frac{\varphi }{2} + k\pi , k \in Z

\end{array} \right.\)

Từ đó suy ra: Số phức \(z = r(c{\rm{os}}\varphi + i\sin \varphi )\) có \(2\) căn bậc hai là: \({{\rm{w}}_1} = \sqrt r \left( {c{\rm{os}}\frac{\varphi }{2} + i\sin \frac{\varphi }{2}} \right)\) và \({{\rm{w}}_2} = \sqrt r \left( {c{\rm{os}}\left( {\frac{\varphi }{2} + \pi } \right) + i \sin \left( {\frac{\varphi }{2} + \pi } \right)} \right)\) \( = – \sqrt r \left( {c{\rm{os}}\frac{\varphi }{2} + i\sin \frac{\varphi }{2}} \right).\)

2. Tính căn bậc \(n\) của số phức

Căn bậc \(n\) của số phức \(z\) là số phức \(w\) thỏa \({w^n} = z\).

Với \(z \ne 0\) và \(z = r(c{\rm{os}}\varphi + i \sin \varphi )\) với \(r /> 0.\)

Đặt \(w = R(c{\rm{os}}\theta + i \sin \theta )\) với \(R /> 0\) thì:

\({{\rm{w}}^n} = z \Leftrightarrow {R^n}(c{\rm{osn}}\theta + i {\mathop{\rm sinn}\nolimits} \theta )\) \( = r(c{\rm{os}}\varphi + i \sin \varphi )\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}

{R^n} = r\\

n\theta = \varphi + k2\pi , k \in Z

\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}

R = \sqrt[n]{r}\\

\theta = \frac{\varphi }{n} + \frac{{k2\pi }}{n}, k \in Z

\end{array} \right.\)

Bằng cách chọn \(k = 0, 1, 2, …, n-1\) ta được \(n\) căn bậc \(n\) của \(z\) là:

\({w_1} = \sqrt[n]{r}\left( {\cos \frac{\varphi }{n} + i\sin \frac{\varphi }{n}} \right).\)

\({w_2}\) = \(\sqrt[n]{r}\left( {\cos \left( {\frac{\varphi }{n} + \frac{{2\pi }}{n}} \right) + i\sin \left( {\frac{\varphi }{n} + \frac{{2\pi }}{n}} \right)} \right).\)

…..

\({w_n}\) = \(\sqrt[n]{r}(\cos \left( {\frac{\varphi }{n} + \frac{{2\pi (n – 1)}}{n}} \right)\) \( + i\sin \left( {\frac{\varphi }{n} + \frac{{2\pi (n – 1)}}{n}} \right)).\)

[ads]

Ví dụ 1.  Tìm căn bậc hai của số phức sau và viết dưới dạng lượng giác \({\rm{w}} = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i.\)

Ta có \(w = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \cos \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{3}.\)

Đặt \(z = r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)\) với \(r /> 0\) là một căn bậc hai của \(w\), ta có:

\({z^2} = w\) ⇔ \({r^2}\left( {\cos 2\varphi + i\sin 2\varphi } \right)\) \( = \cos \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{3}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}

r = 1\\

2\varphi = \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in Z

\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}

r = 1\\

\varphi = \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in Z

\end{array} \right.\)

Vậy \(w\) có hai căn bậc hai là: \({z_1} = \cos \frac{\pi }{6} + i\sin \frac{\pi }{6}\) và \({z_2} = \cos \frac{{7\pi }}{6} + i\sin \frac{{7\pi }}{6}.\)

Ví dụ 2. Tính căn bậc ba của số phức sau và viết dưới dạng lượng giác: \(w = – 1 + i\sqrt 3 .\)

Ta có: \(w = – 1 + i\sqrt 3 = 2\left( { – \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\) \( = 2\left( {\cos \frac{{2\pi }}{3} + i\sin \frac{{2\pi }}{3}} \right).\)

Suy ra \(w\) có môđun \(R = 2\) và một acgumen \(\theta = \frac{{2\pi }}{3}.\)

Do đó, căn bậc ba của \(w\) là số phức \(z\) có: môđun \(r = \sqrt[3]{2}\) và một acgumen \(\phi = \frac{\theta }{3} + \frac{{k2\pi }}{3} = \frac{{2\pi }}{9} + \frac{{k2\pi }}{3},k \in Z.\)

Lấy \(k = 0,1,2\) thì \(\varphi \) có ba giá trị:

\({\varphi _1} = \frac{{2\pi }}{9}\), \({\varphi _2} = \frac{{2\pi }}{9} + \frac{{2\pi }}{3} = \frac{{8\pi }}{9}\), \({\varphi _3} = \frac{{2\pi }}{9} + \frac{{4\pi }}{3} = \frac{{14\pi }}{9}.\)

Vậy \(w = – 1 + i\sqrt 3 \) có \(3\) căn bậc ba là: \({z_1} = \sqrt[3]{2}\left( {\cos \frac{{2\pi }}{9} + i\sin \frac{{2\pi }}{9}} \right)\), \({z_2} = \sqrt[3]{2}\left( {\cos \frac{{8\pi }}{9} + i\sin \frac{{8\pi }}{9}} \right)\), \({z_3} = \sqrt[3]{2}\left( {\cos \frac{{14\pi }}{9} + i\sin \frac{{14\pi }}{9}} \right).\)

Ví dụ 3. Tính căn bậc bốn của số phức sau và viết dưới dạng lượng giác: \(w = i.\)

Ta có: \(w = i = \cos \frac{\pi }{2} + i\sin \frac{\pi }{2}\) có môđun \(R = 1\) và một acgumen \(\theta = \frac{\pi }{2}.\)

Suy ra căn bậc bốn của \(w\) là số phức \(z\) có: môđun \(r = 1\) và một acgumen \(\varphi = \frac{\theta }{4} + \frac{{k2\pi }}{4} = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2},k \in Z.\)

Lấy \(k = 0,1,2,3\) ta có \(4\) giá trị của \(\varphi\): \({\varphi _1} = \frac{\pi }{8}\), \({\varphi _2} = \frac{\pi }{8} + \frac{\pi }{2} = \frac{{5\pi }}{8}\), \({\varphi _3} = \frac{\pi }{8} + \pi = \frac{{9\pi }}{8}\), \({\varphi _4} = \frac{\pi }{8} + \frac{{3\pi }}{2} = \frac{{13\pi }}{8}.\)