bài toán tương giao trong không gian oxyz

Tài liệu gồm 18 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Lê Thảo (THPT Nguyễn Thị Minh Khai, thành phố Hà Nội) và thầy giáo Bùi Sỹ Khanh (THPT Trần Cao Vân, thành phố Hồ Chí Minh), hướng dẫn phương pháp giải bài toán tương giao trong không gian Oxyz – một dạng toán vận dụng – vận dụng cao (VD – VDC) thường xuất hiện trong các đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán.

I. NHẮC LẠI LÝ THUYẾT

1. Tương giao giữa mặt cầu và mặt phẳng.

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng P By C D Ax z 0 và mặt cầu 2 2 2 2 S x a y b z c R có tâm I a b c và bán kính R khi đó:

– Nếu d I P R thì mặt cầu S và P không có điểm chung.

– Nếu d I P R thì mặt cầu S và P có điểm chung duy nhất là H (mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại H) và IH P.

– Nếu d I P R thì mặt cầu S và cắt mặt phẳng P theo giao tuyến là đường tròn tâm H bán kính r ta có:

+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên P và 2 2 2 I P r IH R d IH.

+ Cho điểm M nằm trong mặt cầu S mặt phẳng P đi qua M cắt S theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r nhỏ nhất IM P.

+ Cho điểm M nằm trong mặt cầu S mặt phẳng P đi qua M cắt S theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r lớn nhất P đi qua 2 điểm I và M.

2. Tương giao giữa mặt cầu và đường thẳng.

Trong không gian Oxyz, đường thẳng và mặt cầu S có tâm I và bán kính R khi đó:

– Nếu d I R thì mặt cầu S và không có điểm chung.

– Nếu d I R thì mặt cầu S và có điểm chung duy nhất là H khi đó IH.

– Nếu d I R thì mặt cầu S và cắt đường thẳng tại hai điểm A B ta có một số kết quả sau:

+ Gọi H là trung điểm AB IH và 2 2 2 4 I I AB d R d IH.

+ Cho điểm M khi đó đường thẳng đi qua M cắt S tại hai điểm A B sao cho độ dài AB lớn nhất là đường thẳng đi qua 2 điểm M và I.

+ Cho điểm M nằm trong mặt cầu S đường thẳng đi qua M cắt S tại hai điểm A B sao cho độ dài AB nhỏ nhất là đường thẳng đi qua M và vuông góc IM.

II. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA

III. BÀI TẬP RÈN LUYỆN