giải bài tập sgk giải tích 12 nâng cao: tính đơn điệu của hàm số

Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao: Tính đơn điệu của hàm số.

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

a) \(y = 2{x^3} + 3{x^2} + 1.\)

b) \(y = {x^3} – 2{x^2} + x + 1.\)

c) \(y = x + \frac{3}{x}.\)

d) \(y = x – \frac{2}{x}.\)

e) \(y = {x^4} – 2{x^2} – 5.\)

f) \(y = \sqrt {4 – {x^2}} .\)

a) Hàm số \(y = 2{x^3} + 3{x^2} + 1\) xác định trên \(R.\)

Ta có: \(y’ = 6{x^2} + 6x\) \( = 6x(x + 1).\)

\(y’ = 0\) \( \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = – 1.\)

Chiều biến thiên của hàm số được nêu trong bảng sau:

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(( – \infty ; – 1)\) và \((0; + \infty )\), nghịch biến trên \(( – 1;0).\)

b) Tập xác định: \(R.\)

Đạo hàm: \(y’ = 3{x^2} – 4x + 1.\)

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { – \infty ;\frac{1}{3}} \right)\) và \((1; + \infty )\), nghịch biến trên \(\left( {\frac{1}{3};1} \right).\)

c) Tập xác định: \(R\backslash \left\{ 1 \right\}.\)

\(y’ = \frac{{{x^2} – 3}}{{{x^2}}}\) \((x \ne 0).\)

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(( – \infty ; – \sqrt 3 )\) và \((\sqrt 3 ; + \infty )\), hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(( – \sqrt 3 ;0)\) và \((0;\sqrt 3 ).\)

d) Tập xác định: \(R.\)

\(y’ = 1 + \frac{2}{{{x^2}}}\) \( = \frac{{{x^2} + 2}}{{{x^2}}} /> 0\), \(\forall x \ne 0.\)

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(( – \infty ;0)\) và \((0; + \infty ).\)

e) Tập xác định: \(R.\)

\(y’ = 4{x^3} – 4x\) \( = 4x\left( {{x^2} – 1} \right).\)

\(y’ = 0\) \( \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = \pm 1.\)

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(( – 1;0)\) và \((1; + \infty )\), nghịch biến trên mỗi khoảng \(( – \infty ; – 1)\) và \((0;1).\)

f) Hàm số \(y = \sqrt {4 – {x^2}} \) xác định và liên tục trên \([ – 2;2].\)

\(y’ = \frac{{ – x}}{{\sqrt {4 – {x^2}} }}\), \(y’ = 0\) \( \Leftrightarrow x = 0.\)

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên \([ – 2;0]\) và nghịch biến trên \([0;2].\)

(Có thể trả lời: Hàm số đồng biến trên \((-2;0)\) và nghịch biến trên \((0;2)\)).

Bài 2. Chứng minh rằng:

a) Hàm số \(y = \frac{{x – 2}}{{x + 2}}\) đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

b) Hàm số \(y = \frac{{ – {x^2} – 2x + 3}}{{x + 1}}\) nghịch biến trên mỗi khoảng của nó.

a) Hàm số xác định trên \(R\backslash \{ – 2\} .\)

Ta có: \(y’ = \frac{4}{{{{(x + 2)}^2}}} /> 0\), \(\forall x \ne – 2.\)

Nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(( – \infty ; – 2)\) và \(( – 2; + \infty ).\)

b) Hàm số xác định trên \(R\backslash \{ – 1\} .\)

\(y’ = \frac{{ – {x^2} – 2x – 5}}{{{{(x + 1)}^2}}} < 0\), \(\forall x \ne – 1.\)

Nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(( – \infty ; – 1)\) và \(( – 1; + \infty ).\)

Bài 3. Chứng minh rằng các hàm số sau đồng biến trên \(R.\)

a) \(f(x) = {x^3} – 6{x^2} + 17x + 4.\)

b) \(f(x) = {x^3} + x – \cos x – 4.\)

a) Hàm số \(f(x) = {x^3} – 6{x^2} + 17x + 4\) xác định trên \(R.\)

Ta có \(f'(x) = 3{x^2} – 12x + 17\) \( = 3{(x – 2)^2} + 5 /> 0\), \(\forall x \in R.\)

Nên hàm số đồng biến trên \(R.\)

b) Hàm số \(f(x)\) xác định trên \(R.\)

Và \(f'(x) = 3{x^2} + 1 + \sin x /> 0\), \(x \in R\) (vì \({{x^2} \ge 0}\), \({1 + \sin x \ge 0}\), \({3{x^2} + 1 + \sin x = 0}\) vô nghiệm).

Nên hàm số đồng biến trên \(R.\)

Bài 4. Với giá trị nào của \(a\), hàm số \(y = ax – {x^3}\) nghịch biến trên \(R\)?

Hàm số xác định trên \(R.\)

\(y’ = a – 3{x^2}.\)

Cách 1.

Nếu \(a < 0\) \( \Rightarrow y’ < 0\), \(\forall x \in R\) \( \Rightarrow \) hàm số nghịch biến trên \(R.\)

Nếu \(a = 0\) \( \Rightarrow y’ = – 3{x^2} \le 0\), \(\forall x \in R\), \(y’ = 0\) \( \Leftrightarrow x = 0.\)

Vậy hàm số nghịch biến trên \(R.\)

Nếu \(a /> 0\) thì \(y’ = 0\) \( \Leftrightarrow x = \pm \sqrt {\frac{a}{3}} .\)

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên \(\left( { – \sqrt {\frac{a}{3}} ;\sqrt {\frac{a}{3}} } \right).\) Vậy \(a /> 0\) không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Cách 2. Hàm số nghịch biến trên \(R\), điều kiện \(y’ \le 0\), \(\forall x \in R\), \(y’ = 0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm.

Ta có: \(y’ \le 0\) \( \Leftrightarrow a – 3{x^2} \le 0\) \( \Leftrightarrow a \le 3{x^2}\), \(\forall x \in R.\)

\( \Leftrightarrow a \le \mathop {\min }\limits_R \left( {3{x^2}} \right)\), mà \(3{x^2} \ge 0\), \(\forall x \in R.\)

Nên \(\mathop {\min }\limits_R \left( {3{x^2}} \right) = 0.\) Vậy \(a \le 0.\)

Kết luận: Với \(a \le 0\) thì \(y = ax – {x^3}\) nghịch biến trên \(R.\)

Bài 5. Tìm các giá trị của tham số \(a\) để hàm số \(f(x) = \frac{1}{3}{x^3} + a{x^2} + 4x + 3\) đồng biến trên \(R.\)

\(f(x)\) xác định trên \(R.\)

\(f'(x) = {x^2} + 2ax + 4\), \(\Delta {‘_{f’}} = {a^2} – 4.\)

Cách 1.

Nếu \({a^2} – 4 < 0\) hay \( – 2 < a < 2\) thì \(f'(x) /> 0\), \(\forall x \in R\), suy ra hàm số đồng biến trên \(R.\)

Nếu \({a^2} – 4 = 0\) hay \(a = \pm 2:\)

+ Với \(a = 2\) thì \(f'(x) = {(x + 2)^2} /> 0\), \(\forall x \ne – 2.\) Hàm số đồng biến trên \(R.\)

+ Với \(a = – 2\) thì \(f'(x) = {(x – 2)^2} /> 0\), \(\forall x \ne 2.\) Hàm số đồng biến trên \(R.\)

Nếu \({a^2} – 4 /> 0\) hay \(a < -2\) hoặc \(a /> 2\) thì \(f'(x) = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\), \({x_2}\). Giả sử \({x_1} < {x_2}\) khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {{x_1};{x_2}} \right).\) Vậy các giá trị này của \(a\) không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Cách 2.

Hàm số đồng biến trên \(R\) khi và chỉ khi \(f'(x) \ge 0\), \(\forall x \in R\), \(f'(x) = 0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm.

Ta có: \({x^2} + 2ax + 4 \ge 0\), \(\forall x \in R\) \(\Delta {‘_{f’}} \le 0\) \( \Leftrightarrow {a^2} – 4 \le 0\) \( \Leftrightarrow – 2 \le a \le 2.\)

Kết luận: Hàm số đồng biến trên \(R\) khi và chỉ khi \( – 2 \le a \le 2.\)

LUYỆN TẬP

Bài 6. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{1}{3}{x^3} – 2{x^2} + 4x – 5.\)

b) \(y = – \frac{4}{3}{x^3} + 6{x^2} – 9x – \frac{2}{5}.\)

c) \(y = \frac{{{x^2} – 8x + 9}}{{x – 5}}.\)

d) \(y = \sqrt {2x – {x^2}} .\)

e) \(y = \sqrt {{x^2} – 2x + 3} .\)

f) \(y = \frac{1}{{x + 1}} – 2x.\)

a) Hàm số đã cho xác định trên \(R.\)

\(y’ = {x^2} – 4x + 4\) \( = {(x – 2)^2} /> 0\), \(\forall x \ne 2\), \(y’ = 0\) chỉ tại \(x = 2.\)

Vậy hàm số đồng biến trên \(R.\)

b) Hàm số đã cho xác định trên \(R.\)

\(y’ = – 4{x^2} + 12x – 9\) \( = – {(2x – 3)^2} \le 0\), \(\forall x \in R\), \(y’ = 0\) chỉ tại \(x = \frac{3}{2}.\)

Vậy hàm số nghịch biến trên \(R.\)

c) Hàm số đã cho xác định trên \(D = R\backslash \{ 5\} .\)

\(y’ = \frac{{{x^2} – 10x + 31}}{{{{(x – 5)}^2}}} /> 0\), \(\forall x \in D.\)

Nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(( – \infty ;5)\) và \((5; + \infty ).\)

d) \(y = \sqrt {2x – {x^2}} \) liên tục trên \([0;2].\)

\(y’ = \frac{{1 – x}}{{\sqrt {2x – {x^2}} }}\) với \(x \in (0;2)\), \(y’ = 0\) \( \Leftrightarrow x = 1.\)

Chiều biến thiên của hàm số được nêu trong bảng sau:

Vậy hàm số đồng biến trên \([0;1]\) và nghịch biến trên \([1;2].\)

(Có thể nói: Hàm số đồng biến trên \((0;1)\) và nghịch biến trên \((1;2)\)).

e) \(y = \sqrt {{x^2} – 2x + 3} \) xác định trên \(R\) (vì \({x^2} – 2x + 3\) \( = {(x – 1)^2} + 2 /> 0\), \(\forall x \in R\)).

\(y’ = \frac{{x – 1}}{{\sqrt {{x^2} – 2x + 3} }}\), \(y’ = 0\) \( \Leftrightarrow x = 1.\)

Hàm số nghịch biến trên \(( – \infty ;1)\), đồng biến trên \((1; + \infty ).\)

f) Hàm số xác định trên \(D = R\backslash \{ – 1\} .\)

Vì \(y’ = \frac{{ – 1}}{{{{(x + 1)}^2}}} – 2 < 0\), \(\forall x \in D\) nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(( – \infty ; – 1)\) và \(( – 1; + \infty ).\)

Bài 7. Chứng minh rằng hàm số \(f(x) = \cos 2x – 2x + 3\) nghịch biến trên \(R.\)

\(f(x)\) xác định và liên tục trên \(R\) nên liên tục trên mỗi đoạn \(\left[ { – \frac{\pi }{4} + k\pi ; – \frac{\pi }{4} + (k + 1)\pi } \right]\), \(k \in Z.\)

\(f'(x) = – 2(\sin 2x + 1) \le 0\), \(\forall x \in R.\)

\(f'(x) = 0\) \( \Leftrightarrow \sin 2x = – 1\) \( \Leftrightarrow 2x = – \frac{\pi }{2} + k2\pi \) \( \Leftrightarrow x = – \frac{\pi }{4} + k\pi \), \(k \in Z.\)

Vậy hàm số nghịch biến trên mỗi đoạn \(\left[ { – \frac{\pi }{4} + k\pi ; – \frac{\pi }{4} + (k + 1)\pi } \right]\), \(k \in Z.\)

Do đó hàm số nghịch biến trên \(R.\)

Bài 8. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) \(\sin x < x\) với mọi \(x /> 0\), \(\sin x /> x\) với mọi \(x < 0.\)

b) \(\cos x /> 1 – \frac{{{x^2}}}{2}\) với mọi \(x \ne 0.\)

c) \(\sin x /> x – \frac{{{x^3}}}{6}\) với mọi \(x /> 0\), \(\sin x < x – \frac{{{x^3}}}{6}\) với mọi \(x < 0.\)

a)

+ Hàm số \(f(x) = x – \sin x\) liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) và có đạo hàm \(f'(x) = 1 – \cos x /> 0\), \(\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right).\)

Do đó hàm số đồng biến trên \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right).\)

Suy ra: \(f(x) /> f(0)\), \(\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right).\)

Hay \(x – \sin x /> 0\), \(\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right).\)

Hiển nhiên \(x /> \sin x\), \(\forall x \ge \frac{\pi }{2}\) (do \(\sin x \le 1\)).

Vậy \(x /> \sin x\) với mọi \(x /> 0.\)

+ Hàm số \(f(x) = x – \sin x\) liên tục trên \(\left[ { – \frac{\pi }{2};0} \right]\) và có đạo hàm \(f'(x) = 1 – \cos x /> 0\), \(\forall x \in \left( { – \frac{\pi }{2};0} \right).\) Do đó hàm số đồng biến trên \(\left( { – \frac{\pi }{2};0} \right).\)

Suy ra: \(f(x) < f(0)\), \(\forall x \in \left( { – \frac{\pi }{2};0} \right)\) hay \(x – \sin x < 0\), \(\forall x \in \left( { – \frac{\pi }{2};0} \right).\)

Hiển nhiên: \(x < \sin x\) với mọi \(x \le – \frac{\pi }{2}\) (vì \(\sin x \ge – 1\)).

Vậy \(x < \sin x\) với mọi \(x < 0.\)

b)

Cách 1. Hàm số \(g(x) = \cos x – 1 + \frac{{{x^2}}}{2}.\) Xác định trên \(R\) và có đạo hàm \(g'(x) = x – \sin x.\)

Theo câu a: \(g'(x) /> 0\), \(\forall x /> 0\), \(g'(x) < 0\), \(\forall x < 0\), \(g'(0) = 0.\)

Chiều biến thiên của \(g(x)\) được thể hiện trong bảng sau:

Vậy \(g(x) /> 0\), \(\forall x \ne 0.\)

Cách 2. Xét \(g(x) = \cos x – 1 + \frac{{{x^2}}}{2}\) liên tục trên nửa khoảng \([0; + \infty )\) và có đạo hàm \(g'(x) = x – \sin x.\)

Theo câu a: \(g'(x) /> 0\) với mọi \(x /> 0.\)

Do đó hàm số \(g\) đồng biến trên \([0; + \infty ).\)

Và ta có: \(g(x) /> g(0)\), \(\forall x /> 0.\)

Tức là \(\cos x – 1 + \frac{{{x^2}}}{2} /> 0\) với mọi \(x /> 0\) \((1).\)

Từ đó suy ra với mọi \(x < 0\), ta có:

\(\cos ( – x) + 1 + \frac{{{{( – x)}^2}}}{2} /> 0\) hay \(\cos x + 1 + \frac{{{x^2}}}{2} /> 0\) với mọi \(x < 0\) \((2).\)

Từ \((1)\) và \((2)\), ta có: \(g(x) /> 0\), \(\forall x \ne 0\) hay \(\cos x /> 1 – \frac{{{x^2}}}{2}\), \(\forall x \ne 0.\)

c) Xét \(h(x) = \sin x – x + \frac{{{x^3}}}{6}\) xác định trên \(R\) và có đạo hàm \(h'(x) = \cos x – 1 + \frac{{{x^2}}}{2} /> 0\), \(\forall x \ne 0\), \(h'(0) = 0\) (theo câu b).

Suy ra \(h(x)\) đồng biến trên \(R\) và ta có:

\(h(x) /> h(0)\) với mọi \(x /> 0\) và \(h(x) < h(0)\) với mọi \(x < 0.\)

Suy ra \(\sin x /> x – \frac{{{x^3}}}{6}\) với mọi \(x /> 0\) và \(\sin x < x – \frac{{{x^3}}}{6}\) với mọi \(x < 0.\)

Bài 9. Chứng minh rằng: \(\sin x + \tan x /> 2x\) với mọi \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right).\)

Đặt \(f(x) = \sin x + \tan x – 2x.\)

Ta có: \(f(x)\) liên tục trên \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) và \(f'(x) = \cos x + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} – 2.\)

\( \Rightarrow f'(x) /> {\cos ^2}x + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} – 2 /> 0\) với mọi \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) (vì \({\cos ^2}x + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} /> 2\), \(\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)).

Do đó hàm số \(f\) đồng biến trên \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) và ta có \(f(x) /> f(0)\), \(\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right).\)

Hay \(\sin x + \tan x /> 2x\) với mọi \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right).\)

Bài 10. Số dân của một thị trấn sau \(t\) năm kể từ năm 1970 ước tính bởi công thức \(f(t) = \frac{{26t + 10}}{{t + 5}}\) (\(f(t)\) được tính bằng nghìn người).

a) Tính số dân của thị trấn vào đầu năm 1980 và đầu năm 1995.

b) Xem \(f\) là một hàm số xác định trên nửa khoảng \([0; + \infty ).\) Tính \(f'(t)\) và xét chiều biến thiên của \(f\) trên nửa khoảng \([0; + \infty ).\)

c) Đạo hàm của hàm số \(f\) biểu thị tốc độ tăng dân số của thị trấn (tính bằng nghìn người/năm).

+ Tính tốc độ tăng dân số vào đầu năm 1990 của thị trấn.

+ Tính tốc độ tăng dân số được dự kiến vào đầu năm 2008.

+ Vào năm nào thì tốc độ tăng dân số là \(0,125\) nghìn người/năm.

a) Vào đầu năm 1980, ta có \(t = 10\), \(f(10) = 18.\)

Vậy số dân của thị trấn vào đầu năm \(1980\) là \(18\) nghìn người.

Vào đầu năm 1995, ta có \(t = 25\), \(f(25) = 22.\)

Số dân của thị trấn vào đầu năm 1995 là \(22\) nghìn người.

b) \(f'(t) = \frac{{120}}{{{{(t + 5)}^2}}}\) với mọi \(t /> 0\), \(f(t)\) liên tục trên \([0; + \infty )\) (vì liên tục trên khoảng \(( – 5; + \infty )\)).

Vậy hàm số đồng biến trên \([0; + \infty ).\)

c) Tốc độ tăng dân số vào đầu năm 1990 là:

\(f'(20) = \frac{{120}}{{{{25}^2}}} = 0,192\) (do \(t = 1990 – 1970 = 20\)).

Tốc độ tăng dân số được dự kiến vào năm 2008 của thị trấn là:

\(f'(38) = \frac{{120}}{{{{43}^2}}} \approx 0,065\) (do \(t = 2008 – 1970 = 38\)).

Ta có \(f'(t) = 0,125.\)

\( \Leftrightarrow \frac{{120}}{{{{(t + 5)}^2}}} = 0,125\) \( \Leftrightarrow t + 5 = \sqrt {\frac{{120}}{{0,125}}} \approx 31\) \( \Rightarrow t \approx 26.\)

Vậy vào năm 1996. Tốc độ tăng dân số của thị trấn là \(0,125.\)