giải bài tập sgk giải tích 12 nâng cao: đồ thị của hàm số và phép tịnh tiến hệ tọa độ

Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao: Đồ thị của hàm số và phép tịnh tiến hệ tọa độ.

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 29. Xác định đỉnh \(I\) của mỗi parabol \((P)\) sau đây. Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) và viết phương trình của parabol \((P)\) đối với hệ tọa độ \(IXY.\)

a) \(y = 2{x^2} – 3x + 1.\)

b) \(y = \frac{1}{2}{x^2} – x – 3.\)

c) \(y = x – 4{x^2}.\)

d) \(y = 2{x^2} – 5.\)

a) Đỉnh \(I\) có tọa độ \(I\left( {\frac{3}{4}; – \frac{1}{8}} \right).\)

Công thức chuyển hệ trục tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) là:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = X + \frac{3}{4}}\\

{y = Y – \frac{1}{8}}

\end{array}} \right..\)

Phương trình của Parabol đối với hệ tọa độ \(IXY\) là:

\( – \frac{1}{8} = 2{\left( {X + \frac{3}{4}} \right)^2} – 3\left( {X + \frac{3}{4}} \right) + 1\) hay \(Y = 2{X^2}.\)

b) Đỉnh \(I\left( {1; – \frac{7}{2}} \right).\)

Công thức chuyển hệ trục tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) là:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = X + 1}\\

{y = Y – \frac{7}{2}}

\end{array}} \right..\)

Phương trình của Parabol đối với hệ tọa độ \(IXY\) là:

\(Y – \frac{7}{2}\) \( = \frac{1}{2}{(X + 1)^2} – (X + 1) – 3\) hay \(Y = \frac{1}{2}{X^2}.\)

c) Đỉnh \(I\left( {\frac{1}{8};\frac{1}{{16}}} \right).\)

Công thức chuyển hệ trục tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) là:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = X + \frac{1}{8}}\\

{y = Y + \frac{1}{{16}}}

\end{array}} \right..\)

Phương trình của Parabol đối với hệ tọa độ \(IXY\) là:

\(Y + \frac{1}{{16}}\) \( = X + \frac{1}{8} – 4{\left( {X + \frac{1}{8}} \right)^2}\) hay \(Y = – 4{X^2}.\)

d) Đỉnh \(I(0; – 5).\)

Công thức chuyển hệ trục tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) là:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = X’}\\

{y = Y – 5}

\end{array}} \right..\)

Phương trình của Parabol đối với hệ tọa độ \(IXY\) là:

\(Y – 5 = 2{X^2} – 5\) hay \(Y = 2{X^2}.\)

Bài 30. Cho hàm số \(y = f(x)\) \( = {x^3} – 3{x^2} + 1.\)

a) Xác định điểm \(I\) thuộc đồ thị \((C)\) của hàm số đã cho biết rằng hoành độ của điểm \(I\) là nghiệm của phương trình \(f”(x) = 0.\)

b) Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) và viết phương trình của đường \((C)\) với hệ tọa độ \(IXY.\) Từ đó suy ra rằng \(I\) là tâm đối xứng của đường cong \((C).\)

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong \((C)\) tại điểm \(I\) đối với hệ tọa độ \(Oxy.\) Chứng minh rằng trên khoảng \(( – \infty ;1)\) đường cong \((C)\) nằm phía dưới tiếp tuyến tại \(I\) của \((C)\) và trên khoảng (1 ;+\infty) đường cong \((C)\) nằm phía trên tiếp tuyến đó.

a) \(f'(x) = 3{x^2} – 6x.\)

\(f”(x) = 6x – 6\), \(f”(x) = 0\) \( \Leftrightarrow x = 1\) \( \Rightarrow f(1) = – 1.\)

Vậy \(I(1; – 1).\)

b) Công thức chuyển hệ trục tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} :\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = X + 1}\\

{y = Y – 1}

\end{array}} \right..\)

Phương trình của \((C)\) đối với hệ trục \(IXY\) là:

\(Y – 1 = {(X + 1)^3} – 3{(X + 1)^2} + 1\) hay \(Y = {X^3} – 3X.\)

Vì hàm số \(Y = {X^3} – 3X\) là hàm số lẻ nên đồ thị của nó nhận gốc tọa độ \(I\) làm tâm đối xứng.

c) Tiếp tuyến với \((C)\) tại \(I(1;-1)\) đối với hệ tọa độ \(Oxy\) là:

\(y = f'(1)(x – 1) + f(1)\) với \(f'(1) = – 3\), \(f(1) = – 1.\)

Nên phương trình tiếp tuyến: \(y = – 3(x – 1)( + ( – 1)\) hay \(y = – 3x + 2.\)

Xét hiệu \(\left( {{x^3} – 3{x^2} + 1} \right)\) \( – ( – 3x + 2)\) \( = {(x – 1)^3}.\)

+ Với \(x \in ( – \infty ;1)\) \( \Rightarrow {(x – 1)^3} < 0\) nên đường cong \((C):y = {x^3} – 3{x^2} + 1\) nằm phía dưới tiếp tuyến \(y = – 3{\rm{ }}x + 2.\)

+ Với \(x \in (1; + \infty )\) \( \Rightarrow {(x – 1)^3} /> 0\) nên đường cong \((C)\) nằm phía trên tiếp tuyến tại \(I.\)

Bài 31. Cho đường cong \((C):y = 2 – \frac{1}{{x + 2}}\) và điểm \(I( – 2;2).\) Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) và viết phương trình của đường cong \((C)\) đối với hệ tọa độ \(IXY.\) Từ đó suy ra \(I\) là tâm đối xứng của \((C).\)

Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow {OI} :\) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = X – 2}\\

{y = Y + 2}

\end{array}} \right..\)

Phương trình \((C)\) trong hệ tọa độ \(IXY:\)

\(Y + 2 = 2 – \frac{1}{{(X – 2) + 2}}\) hay \(Y = – \frac{1}{X}.\)

Vì \(Y = – \frac{1}{X}\) là hàm số lẻ nên \((C)\) nhận gốc tọa độ \(I\) là tâm đối xứng.

Bài 32. Xác định tâm đối xứng của đồ thị mỗi hàm số sau đây:

a) \(y = \frac{2}{{x – 1}} + 1.\)

b) \(y = \frac{{3x – 2}}{{x + 1}}.\)

a) \(y = \frac{2}{{x – 1}} + 1\) \( \Leftrightarrow y – 1 = \frac{2}{{x – 1}}\) \( \Leftrightarrow Y = \frac{2}{X}\) với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{X = x – 1}\\

{Y = y – 1}

\end{array}} \right.\) hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = X + 1}\\

{y = Y + 1}

\end{array}} \right.\) \((*).\)

Hệ \((*)\) là công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) với \(I(1;1)\) (đối với hệ trục \(Oxy\)).

Đối với hệ trục \(IXY\), hàm số \(Y = \frac{2}{X}\) hàm số lẻ nên đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

Vậy tâm đối xứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{2}{{x – 1}} + 1\) là \(I(1;1).\)

b) \(y = \frac{{3x – 2}}{{x + 1}}\) \( \Leftrightarrow y = 3 – \frac{5}{{x – 1}}\) \( \Leftrightarrow y – 3 = \frac{{ – 5}}{{x + 1}}\) \( \Leftrightarrow Y = \frac{{ – 5}}{X}\) với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{X = x + 1}\\

{Y = y – 3}

\end{array}} \right.\) hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = X – 1}\\

{y = Y + 3}

\end{array}} \right..\) Đây là công thức chuyển hệ trục tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) với \(I( – 1;3).\)

Vì \(Y = \frac{{ – 5}}{X}\) là hàm số lẻ nên đồ thị nhận gốc tọa độ \(I\) làm tâm đối xứng.

Vậy tâm đối xứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{3x – 2}}{{x + 1}}\) là \(I( – 1;3).\)

Bài 33. Cho đường cong \((C)\) có phương trình \(y = ax + b + \frac{c}{{x – {x_0}}}\), trong đó \(a \ne 0\), \(c \ne 0\) và \(I\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thỏa mãn \({y_0} = a{x_0} + b.\) Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) và phương trình của \((C)\) đối với hệ tọa độ \(IXY.\) Từ đó suy ra rằng \(I\) là tâm đối xứng của đường cong \((C).\)

Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow {OI} \) với \(I\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = X + {x_0}}\\

{y = Y + {y_0}}

\end{array}} \right.\) hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = X + {x_0}}\\

{y = Y + a{x_0} + b}

\end{array}} \right..\)

Phương trình của \((C)\) đối với hệ tọa độ \(IXY:\)

\(Y + a{x_0} + b\) \( = a\left( {X + {x_0}} \right) + b\) \( + \frac{c}{{X + {x_0} – {x_0}}}\) hay \(Y = aX + \frac{c}{X}.\)

Do hàm số \(Y = aX + \frac{c}{X}\) là hàm số lẻ nên đồ thị \((C)\) của hàm số nhận gốc tọa độ \(I\) làm tâm đối xứng.