nguyên hàm và tích phân hàm lượng giác

Tài liệu gồm 32 trang được biên soạn bởi các tác giả: Nguyễn Minh Tuấn và Phạm Việt Anh, hướng dẫn phương pháp giải các dạng toán nguyên hàm và tích phân hàm lượng giác từ cơ bản đến nâng cao, thường gặp trong chương trình Giải tích 12 chương 3.

Các dạng toán nguyên hàm và tích phân hàm lượng giác trong tài liệu:

1. Các dạng toán cơ bản

Dạng 1. Tính tích phân tổng quát sau: \({I_1} = \int {{{(\sin x)}^n}} dx\), \({I_2} = \int {{{(\cos x)}^n}} dx.\)

Dạng 2. Đôi khi trong khi làm các bài tính tích phân ta bắt gặp các bài toán liên quan tới tích các biểu thức \(\sin x\), \(\cos x\) khi đó ta sẽ sử dụng các công thức biến tích thành tổng để giải quyết các bài toán này. Sau đây là các công thức cần nhớ:

\(I = \int {(\cos mx)} (\cos nx)dx\) \( = \frac{1}{2}\int {(\cos (} m – n)x + \cos (m + n)x)dx.\)

\(I = \int {(\sin mx)} (\sin nx)dx\) \( = \frac{1}{2}\int {(\cos (} m – n)x – \cos (m + n)x)dx.\)

\(I = \int {(\sin mx)} (\cos nx)dx\) \( = \frac{1}{2}\int {(\sin (} m + n)x + \sin (m – n)x)dx.\)

\(I = \int {(\cos mx)} (\sin nx)dx\) \( = \frac{1}{2}\int {(\sin (} m + n)x – \sin (m – n)x)dx.\)

Dạng 3. Tính tích phân tổng quát \(I = \int {{{\sin }^m}} x{\cos ^n}xdx.\)

Dạng 4. Tính tích phân tổng quát \({I_1} = \int {{{(\tan x)}^n}} dx\), \({I_2} = \int {{{(\cot x)}^n}} dx.\)

Dạng 5. Tính tích phân tổng quát \(I = \int {\frac{{{{(\tan x)}^m}}}{{{{(\cos x)}^n}}}} dx\), \(I = \int {\frac{{{{(\cot x)}^m}}}{{{{(\sin x)}^n}}}} dx.\)

[ads]

2. Các dạng toán biến đổi nâng cao

Các bài toán nguyên hàm tích phân lượng giác rất phong phú và do đó sẽ không dừng lại các dạng toán bên trên. Ở phần này ta sẽ cùng tìm hiểu các dạng toán nâng cao hơn, với những phép biến đổi phức tạp hơn.

Dạng 1. Tính tích phân tổng quát \(I = \int {\frac{{dx}}{{\sin (x + a)\sin (x + b)}}} .\)

Dạng 2. Tính tích phân tổng quát \(I = \int {\tan } (x + a)\tan (x + b)dx.\)

Dạng 3. Tính tích phân tổng quát \(I = \int {\frac{{dx}}{{a\sin x + b\cos x}}} .\)

Dạng 4. Tính tích phân tổng quát \(I = \int {\frac{{dx}}{{a\sin x + b\cos x + c}}} .\)

Dạng 5. Tính tích phân tổng quát \(I = \int {\frac{{dx}}{{a{{\sin }^2}x + b\sin x\cos x + c{{\cos }^2}x}}} .\)

Dạng 6. Xét tích phân tổng quát \(I = \int {\frac{{{a_1}\sin x + {b_1}\cos x}}{{{a_2}\sin x + {b_2}\cos x}}} dx.\)

Dạng 7. Xét tích phân tổng quát \(I = \int {\frac{{a{{(\sin x)}^2} + b\sin x\cos x + c{{(\cos x)}^2}}}{{m\sin x + n\cos x}}} dx.\)

Dạng 8. Xét tích phân tổng quát \(I = \int {\frac{{m\sin x + n\cos x}}{{a{{(\sin x)}^2} + 2b\sin x\cos x + c{{(\cos x)}^2}}}} dx.\)

Dạng 9. Biến đổi nâng cao dạng tích phân: \(\int {\frac{{dx}}{{{{(\sin x)}^n}}}} \) và \(\int {\frac{{dx}}{{{{(\cos x)}^n}}}} .\)