Bài 16. Công thức tính góc trong không gian

Bài 16 trong chương 5, Phương pháp tọa độ trong không gian, SGK Toán 12 Kết nối tri thức, là một phần quan trọng trong việc củng cố kiến thức về hình học không gian. Bài học này tập trung vào việc xác định và tính toán các góc trong không gian, một kỹ năng cần thiết cho việc giải quyết nhiều bài toán thực tế.

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

Để hiểu rõ về công thức tính góc trong không gian, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản sau:

• Vectơ chỉ phương của đường thẳng: Một vectơ song song với đường thẳng đó.
• Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: Một vectơ vuông góc với mặt phẳng đó.
• Góc giữa hai đường thẳng: Là góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúng.
• Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Là góc giữa vectơ chỉ phương của đường thẳng và hình chiếu của nó lên mặt phẳng.

II. Công thức tính góc

Dưới đây là các công thức quan trọng để tính góc trong không gian:

1. Góc giữa hai đường thẳng d1 và d2:

cos(θ) = |(a1.a2) / (||a1||.||a2||)|

Trong đó:

• θ là góc giữa hai đường thẳng d1 và d2.
• a1 và a2 là vectơ chỉ phương của d1 và d2.
• ||a1|| và ||a2|| là độ dài của vectơ a1 và a2.
2. Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):

sin(θ) = |(a.n) / (||a||.||n||)|

Trong đó:

• θ là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).
• a là vectơ chỉ phương của d.
• n là vectơ pháp tuyến của (P).
• ||a|| và ||n|| là độ dài của vectơ a và n.

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương a1 = (1, 2, 3) và d2 có vectơ chỉ phương a2 = (-2, 1, 0). Tính góc giữa hai đường thẳng này.

Giải:

cos(θ) = |(1*(-2) + 2*1 + 3*0) / (√(1^2 + 2^2 + 3^2) * √((-2)^2 + 1^2 + 0^2))| = |(-2 + 2 + 0) / (√14 * √5)| = 0

Vậy θ = 90° (hai đường thẳng vuông góc).

Ví dụ 2: Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương a = (2, -1, 1) và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n = (1, 1, -1). Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).

Giải:

sin(θ) = |(2*1 + (-1)*1 + 1*(-1)) / (√(2^2 + (-1)^2 + 1^2) * √(1^2 + 1^2 + (-1)^2))| = |(2 - 1 - 1) / (√6 * √3)| = 0

Vậy θ = 0° (đường thẳng song song với mặt phẳng).

IV. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức, bạn có thể tự giải các bài tập sau:

• Bài 1: Tính góc giữa hai đường thẳng có vectơ chỉ phương a = (1, 0, 0) và b = (0, 1, 0).
• Bài 2: Tính góc giữa đường thẳng có vectơ chỉ phương a = (1, 1, 1) và mặt phẳng có vectơ pháp tuyến n = (0, 0, 1).

V. Kết luận

Bài 16 đã cung cấp cho chúng ta những kiến thức cơ bản và công thức quan trọng để tính góc trong không gian. Việc nắm vững những kiến thức này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán hình học không gian một cách hiệu quả và chính xác. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình.