Loigiai.com.vn cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho mục 3 trang 52,53 sách giáo khoa Toán 12 tập 2 chương trình Kết nối tri thức. Bài giải được trình bày rõ ràng, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Chúng tôi luôn cập nhật lời giải mới nhất, đảm bảo tính chính xác và phù hợp với chương trình học. Hãy cùng loigiai.com.vn khám phá lời giải cho bài tập này ngay bây giờ!
CÔNG THỨC TÍNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 53 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Hãy trả lời câu hỏi đã được nêu ra trong tình huống mở đầu.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về góc giữa hai mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P), (Q) tương ứng có các vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\overrightarrow {n'} = \left( {A';B';C'} \right)\). Khi đó, góc giữa (P) và (Q), kí hiệu là ((P), (Q)) được tính theo công thức:
\(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} } \right)} \right| = \frac{{\left| {AA' + BB' + CC'} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} .\sqrt {A{'^2} + B{'^2} + C{'^2}} }}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(A\left( {0; - 2;0} \right),C\left( {0;2;0} \right),B\left( {2\sqrt 3 ;0;0} \right),A'\left( {0; - 2;7} \right),C'\left( {0;2;5} \right),B'\left( {2\sqrt 3 ;0;6} \right)\)
\(\overrightarrow {AB} \left( {2\sqrt 3 ;2;0} \right),\overrightarrow {AC} \left( {0;4;0} \right);\overrightarrow {A'B'} \left( {2\sqrt 3 ;2; - 1} \right),\overrightarrow {A'C'} \left( {0;4; - 2} \right)\)
\(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&0\\4&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{2\sqrt 3 }\\0&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2\sqrt 3 }&2\\0&4\end{array}} \right|} \right) = \left( {0;0; 8\sqrt 3 } \right)\)
\(\left[ {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'C'} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\4&{ - 2}\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{2\sqrt 3 }\\{ - 2}&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2\sqrt 3 }&2\\0&4\end{array}} \right|} \right) = \left( {0;4\sqrt 3 ;8\sqrt 3 } \right)\)
Mặt phẳng (ABC) có một vectơ pháp tuyến là: \(\frac{{ 1}}{{8\sqrt 3 }}\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {0;0;1} \right)\)
Mặt phẳng (A’B’C’) có một vectơ pháp tuyến là: \(\frac{1}{{4\sqrt 3 }}\left[ {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'C'} } \right] = \left( {0;1;2} \right)\)
Do đó, \(\cos \left( {\left( {ABC} \right),\left( {A'B'C'} \right)} \right) = \frac{{\left| {0.0 + 0.1 + 1.2} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{0^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\)
\( \Rightarrow \left( {\left( {ABC} \right),\left( {A'B'C'} \right)} \right) \approx 26,{6^o}\)
Vậy mái nhà nghiêng so với mặt sàn nhà một góc khoảng \(26,{1^o}\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 52 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right):x - \sqrt 2 y + z - 2 = 0\) và \(\left( {Oxz} \right):y = 0\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về góc giữa hai mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P), (Q) tương ứng có các vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\overrightarrow {n'} = \left( {A';B';C'} \right)\). Khi đó, góc giữa (P) và (Q), kí hiệu là ((P), (Q)) được tính theo công thức:
\(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} } \right)} \right| = \frac{{\left| {AA' + BB' + CC'} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} .\sqrt {A{'^2} + B{'^2} + C{'^2}} }}\).
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \left( {1; - \sqrt 2 ;1} \right)\), mặt phẳng (Oxz) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \left( {0;1;0} \right)\). Ta có: \(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {0.1 - \sqrt 2 .1 + 1.0} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
Do đó, \(\left( {\left( P \right),\left( {Oxz} \right)} \right) = {45^0}\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 52 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P), (Q) tương ứng có các vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\overrightarrow {n'} = \left( {A';B';C'} \right)\). Lấy các đường thẳng \(\Delta \), \(\Delta '\) tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} \) (H.5.36)
a) Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) và góc giữa hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\) có mối quan hệ gì?
b) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về góc giữa hai mặt phẳng để tìm mối quan hệ: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
Sử dụng kiến thức về góc giữa hai đường thẳng để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\) tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} \) thì \(\cos \left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right)} \right|\).
Lời giải chi tiết:
a) Vì các đường thẳng \(\Delta \), \(\Delta '\) tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} \) nên đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với mặt phẳng (P), đường thẳng \(\Delta '\) vuông góc với mặt phẳng (Q).
Do đó, \(\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left( {\Delta ,\Delta '} \right)\)
b) Ta có: \(\cos \left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} } \right)} \right|\) nên \(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \cos \left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} } \right)} \right|\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 52 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P), (Q) tương ứng có các vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\overrightarrow {n'} = \left( {A';B';C'} \right)\). Lấy các đường thẳng \(\Delta \), \(\Delta '\) tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} \) (H.5.36)
a) Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) và góc giữa hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\) có mối quan hệ gì?
b) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về góc giữa hai mặt phẳng để tìm mối quan hệ: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
Sử dụng kiến thức về góc giữa hai đường thẳng để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\) tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} \) thì \(\cos \left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right)} \right|\).
Lời giải chi tiết:
a) Vì các đường thẳng \(\Delta \), \(\Delta '\) tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} \) nên đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với mặt phẳng (P), đường thẳng \(\Delta '\) vuông góc với mặt phẳng (Q).
Do đó, \(\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left( {\Delta ,\Delta '} \right)\)
b) Ta có: \(\cos \left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} } \right)} \right|\) nên \(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \cos \left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} } \right)} \right|\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 52 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right):x - \sqrt 2 y + z - 2 = 0\) và \(\left( {Oxz} \right):y = 0\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về góc giữa hai mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P), (Q) tương ứng có các vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\overrightarrow {n'} = \left( {A';B';C'} \right)\). Khi đó, góc giữa (P) và (Q), kí hiệu là ((P), (Q)) được tính theo công thức:
\(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} } \right)} \right| = \frac{{\left| {AA' + BB' + CC'} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} .\sqrt {A{'^2} + B{'^2} + C{'^2}} }}\).
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \left( {1; - \sqrt 2 ;1} \right)\), mặt phẳng (Oxz) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \left( {0;1;0} \right)\). Ta có: \(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {0.1 - \sqrt 2 .1 + 1.0} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
Do đó, \(\left( {\left( P \right),\left( {Oxz} \right)} \right) = {45^0}\).
Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 53 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Hãy trả lời câu hỏi đã được nêu ra trong tình huống mở đầu.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về góc giữa hai mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P), (Q) tương ứng có các vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\overrightarrow {n'} = \left( {A';B';C'} \right)\). Khi đó, góc giữa (P) và (Q), kí hiệu là ((P), (Q)) được tính theo công thức:
\(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} } \right)} \right| = \frac{{\left| {AA' + BB' + CC'} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} .\sqrt {A{'^2} + B{'^2} + C{'^2}} }}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(A\left( {0; - 2;0} \right),C\left( {0;2;0} \right),B\left( {2\sqrt 3 ;0;0} \right),A'\left( {0; - 2;7} \right),C'\left( {0;2;5} \right),B'\left( {2\sqrt 3 ;0;6} \right)\)
\(\overrightarrow {AB} \left( {2\sqrt 3 ;2;0} \right),\overrightarrow {AC} \left( {0;4;0} \right);\overrightarrow {A'B'} \left( {2\sqrt 3 ;2; - 1} \right),\overrightarrow {A'C'} \left( {0;4; - 2} \right)\)
\(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&0\\4&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{2\sqrt 3 }\\0&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2\sqrt 3 }&2\\0&4\end{array}} \right|} \right) = \left( {0;0; 8\sqrt 3 } \right)\)
\(\left[ {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'C'} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\4&{ - 2}\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{2\sqrt 3 }\\{ - 2}&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2\sqrt 3 }&2\\0&4\end{array}} \right|} \right) = \left( {0;4\sqrt 3 ;8\sqrt 3 } \right)\)
Mặt phẳng (ABC) có một vectơ pháp tuyến là: \(\frac{{ 1}}{{8\sqrt 3 }}\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {0;0;1} \right)\)
Mặt phẳng (A’B’C’) có một vectơ pháp tuyến là: \(\frac{1}{{4\sqrt 3 }}\left[ {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'C'} } \right] = \left( {0;1;2} \right)\)
Do đó, \(\cos \left( {\left( {ABC} \right),\left( {A'B'C'} \right)} \right) = \frac{{\left| {0.0 + 0.1 + 1.2} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{0^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\)
\( \Rightarrow \left( {\left( {ABC} \right),\left( {A'B'C'} \right)} \right) \approx 26,{6^o}\)
Vậy mái nhà nghiêng so với mặt sàn nhà một góc khoảng \(26,{1^o}\).
Mục 3 trang 52,53 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức tập trung vào việc ôn tập chương 3: Đạo hàm. Đây là một phần quan trọng trong chương trình Toán 12, đòi hỏi học sinh phải nắm vững các khái niệm, định lý và kỹ năng liên quan đến đạo hàm. Việc giải các bài tập trong SGK là một cách hiệu quả để củng cố kiến thức và chuẩn bị cho các kỳ thi sắp tới.
Mục 3 bao gồm các bài tập tổng hợp, yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức đã học về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế. Các dạng bài tập thường gặp bao gồm:
Để tính đạo hàm của hàm số y = x^3 - 3x^2 + 2x - 1, ta sử dụng quy tắc đạo hàm của tổng và hiệu, cũng như quy tắc đạo hàm của lũy thừa:
y' = (x^3)' - (3x^2)' + (2x)' - (1)'
y' = 3x^2 - 6x + 2
Để tìm cực trị của hàm số y = x^4 - 4x^2 + 3, ta thực hiện các bước sau:
y' = 4x^3 - 8x = 4x(x^2 - 2)
y' = 0 khi x = 0, x = √2, x = -√2
y'' = 12x^2 - 8
Tại x = 0, y'' = -8 < 0, hàm số đạt cực đại tại x = 0, y(0) = 3
Tại x = √2, y'' = 16 > 0, hàm số đạt cực tiểu tại x = √2, y(√2) = -1
Tại x = -√2, y'' = 16 > 0, hàm số đạt cực tiểu tại x = -√2, y(-√2) = -1
Để khảo sát hàm số y = (x+1)/(x-1), ta thực hiện các bước sau:
Tập xác định: D = R \ {1}
y' = -2/(x-1)^2 < 0 với mọi x ≠ 1, hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞, 1) và (1, +∞)
y'' = 4/(x-1)^3
Tiệm cận đứng: x = 1
Tiệm cận ngang: y = 1
Việc giải các bài tập trong Mục 3 trang 52,53 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức là một bước quan trọng trong quá trình học tập môn Toán. Hy vọng rằng với hướng dẫn chi tiết và các lời khuyên trên, các bạn học sinh sẽ tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán về đạo hàm.
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
