Bài 2. Phân bố Bernoulli và phân bố nhị thức

Bài 2. Phân bố Bernoulli và phân bố nhị thức - Toán 12 Chân trời sáng tạo

Bài 2 trong chương trình Toán 12 Chân trời sáng tạo, Chuyên đề 3, tập trung vào hai phân bố quan trọng trong thống kê: phân bố Bernoulli và phân bố nhị thức. Việc hiểu rõ hai phân bố này là nền tảng để giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến xác suất và thống kê.

1. Phân bố Bernoulli

Phân bố Bernoulli mô tả xác suất thành công hoặc thất bại của một thử nghiệm duy nhất. Thử nghiệm này chỉ có hai kết quả có thể xảy ra: thành công (ký hiệu là 1) hoặc thất bại (ký hiệu là 0). Xác suất thành công được ký hiệu là p, và xác suất thất bại là 1 - p.

• Hàm phân phối xác suất: P(X = x) = p^x(1 - p)^1-x, với x = 0 hoặc 1.
• Giá trị kỳ vọng: E(X) = p
• Phương sai: Var(X) = p(1 - p)

Ví dụ: Tung một đồng xu một lần. Nếu mặt ngửa xuất hiện, đó là thành công (x = 1) với xác suất p = 0.5. Nếu mặt sấp xuất hiện, đó là thất bại (x = 0) với xác suất 1 - p = 0.5.

2. Phân bố nhị thức

Phân bố nhị thức mô tả số lần thành công trong một chuỗi n thử nghiệm độc lập, mỗi thử nghiệm có xác suất thành công là p. Số lần thành công được ký hiệu là X.

• Hàm phân phối xác suất: P(X = k) = C_n^k * p^k * (1 - p)^n-k, với k = 0, 1, 2, ..., n. (C_n^k là tổ hợp chập k của n)
• Giá trị kỳ vọng: E(X) = np
• Phương sai: Var(X) = np(1 - p)

Ví dụ: Tung một đồng xu 5 lần. X là số lần xuất hiện mặt ngửa. X tuân theo phân bố nhị thức với n = 5 và p = 0.5.

3. Mối liên hệ giữa phân bố Bernoulli và phân bố nhị thức

Phân bố nhị thức có thể được xem là tổng của n biến ngẫu nhiên Bernoulli độc lập, mỗi biến ngẫu nhiên đại diện cho một thử nghiệm trong chuỗi n thử nghiệm.

4. Bài tập minh họa

Bài tập 1: Một xạ thủ bắn 10 phát súng vào bia. Biết xác suất bắn trúng bia của mỗi phát súng là 0.8. Tính xác suất xạ thủ bắn trúng bia đúng 6 phát.

Lời giải: Bài toán này có thể được giải bằng phân bố nhị thức với n = 10, k = 6, và p = 0.8. Áp dụng công thức, ta có:

P(X = 6) = C₁₀⁶ * (0.8)⁶ * (0.2)⁴ ≈ 0.0881

Bài tập 2: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp. Tính xác suất lấy được 1 quả bóng đỏ và 1 quả bóng xanh.

Lời giải: Bài toán này có thể được giải bằng cách sử dụng phân bố Bernoulli cho từng lần lấy bóng. Tuy nhiên, cách tiếp cận đơn giản hơn là tính trực tiếp xác suất:

P(1 đỏ, 1 xanh) = (Số cách chọn 1 đỏ * Số cách chọn 1 xanh) / Tổng số cách chọn 2 quả bóng

P(1 đỏ, 1 xanh) = (C₅¹ * C₃¹) / C₈² = (5 * 3) / 28 = 15/28 ≈ 0.5357

5. Ứng dụng của phân bố Bernoulli và phân bố nhị thức

Hai phân bố này có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

• Kiểm định chất lượng sản phẩm: Xác định tỷ lệ sản phẩm lỗi trong một lô hàng.
• Nghiên cứu thị trường: Dự đoán tỷ lệ khách hàng tiềm năng sẽ mua một sản phẩm.
• Y học: Đánh giá hiệu quả của một loại thuốc.
• Khoa học xã hội: Nghiên cứu hành vi của con người.

Hy vọng bài học này đã giúp các em hiểu rõ hơn về phân bố Bernoulli và phân bố nhị thức. Chúc các em học tập tốt!