Bài 3. Góc Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng. Góc Nhị Diện

Bài 3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện - SBT Toán 11 - Cánh diều

Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết Bài 3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện trong sách bài tập Toán 11 tập 2 - Cánh diều. Bài học này thuộc chương VIII: Quan hệ vuông góc trong không gian, là một phần quan trọng trong chương trình học Toán 11.

Loigiai.com.vn sẽ giúp các em hiểu rõ các khái niệm, định lý và phương pháp giải bài tập liên quan đến góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc nhị diện một cách dễ dàng và hiệu quả.

Bài 3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện - SBT Toán 11 - Cánh diều

I. Khái niệm cơ bản

1. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa đường thẳng d và hình chiếu của d trên mặt phẳng (P). Góc này được tính bằng công thức sin φ = d(O, (P)) / |d|, trong đó d(O, (P)) là khoảng cách từ một điểm O trên đường thẳng d đến mặt phẳng (P), và |d| là độ dài đoạn thẳng d.

2. Góc nhị diện: Góc nhị diện là góc tạo bởi hai nửa mặt phẳng có chung một đường thẳng. Góc nhị diện được đo bằng góc giữa hai đường thẳng vuông góc với giao tuyến trong mỗi nửa mặt phẳng. Góc nhị diện có thể nhọn, vuông hoặc tù.

II. Các định lý quan trọng

Định lý 1: Một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
Định lý 2: Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc với nhau tại giao điểm thì đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó.
Định lý 3: Nếu hai mặt phẳng vuông góc thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng đó đều vuông góc với mặt phẳng kia.

III. Phương pháp giải bài tập

1. Bài tập về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Xác định đường thẳng và mặt phẳng cần xét.
Tìm hình chiếu của đường thẳng trên mặt phẳng.
Tính góc giữa đường thẳng và hình chiếu.
Sử dụng công thức sin φ = d(O, (P)) / |d| để tính góc.

2. Bài tập về góc nhị diện:

Xác định hai nửa mặt phẳng và giao tuyến của chúng.
Tìm hai đường thẳng vuông góc với giao tuyến trong mỗi nửa mặt phẳng.
Tính góc giữa hai đường thẳng đó.

IV. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy. Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD).

Giải: Vì SA vuông góc với đáy ABCD nên SA vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABCD). Do đó, góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) bằng 90 độ.

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a và AB = BC = CA = a. Tính góc nhị diện của hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

Giải: Gọi M là trung điểm của BC. Vì tam giác SBC cân tại S nên SM vuông góc với BC. Tương tự, AM vuông góc với BC. Do đó, góc nhị diện của hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là góc SMA.

Ta có SM = √(SA² - AM²) = √(a² - (a√3/2)²) = a/2. Suy ra cos SMA = SM/SA = (a/2)/a = 1/2. Vậy góc SMA = 60 độ.

V. Bài tập luyện tập

Các em học sinh có thể tự giải các bài tập trong sách bài tập Toán 11 tập 2 - Cánh diều để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập. Loigiai.com.vn sẽ cung cấp lời giải chi tiết cho tất cả các bài tập trong sách bài tập này.

Hy vọng với những kiến thức và phương pháp giải bài tập được trình bày trên đây, các em học sinh sẽ học tốt môn Toán 11 và đạt kết quả cao trong các kỳ thi.