Bài 35. Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác

Bài 35. Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác - Giải chi tiết

I. Lý thuyết cần nắm vững

Trong một tam giác, đường trung trực của mỗi cạnh là đường thẳng vuông góc với cạnh đó tại trung điểm của cạnh ấy. Ba đường trung trực của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm đồng quy này gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác.

Đường cao của một tam giác là đoạn thẳng vuông góc kẻ từ một đỉnh của tam giác xuống cạnh đối diện. Ba đường cao của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm đồng quy này gọi là trực tâm của tam giác.

II. Giải bài tập

Bài 1: (SGK Toán 7 Kết nối tri thức tập 2)

Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC.

a) Chứng minh rằng AM, BN, CP đồng quy.

b) Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác MNP.

Giải:

a) AM, BN, CP là ba đường trung tuyến của tam giác ABC. Theo tính chất ba đường trung tuyến của một tam giác đồng quy, AM, BN, CP đồng quy tại một điểm G (trọng tâm của tam giác ABC).

b) Ta có: AM vuông góc với BC, BN vuông góc với AC, CP vuông góc với AB.

Vì M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB nên AM, BN, CP là các đường trung trực của tam giác MNP.

Do đó, H là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác MNP, suy ra H là trực tâm của tam giác MNP.

Bài 2: (SGK Toán 7 Kết nối tri thức tập 2)

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC.

a) Chứng minh rằng AH = 2.OM (với O là trung điểm của BC).

b) Tính góc BAH.

Giải:

a) Vì tam giác ABC vuông tại A nên BC là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Do đó, O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên H là giao điểm của ba đường cao. Mà AH là đường cao kẻ từ A xuống BC nên AH vuông góc với BC.

Xét tam giác vuông AHO, ta có: AH = AO.sin(AOH)

Vì O là trung điểm của BC nên OM = OB = OC.

b) Vì tam giác ABC vuông tại A nên góc BAC = 90 độ.

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AH vuông góc với BC.

Suy ra góc BAH = 90 độ - góc ABC.

III. Luyện tập

Các em có thể tìm thêm các bài tập tương tự trong sách bài tập Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 để rèn luyện kỹ năng giải toán.

IV. Kết luận

Bài 35 đã giúp các em hiểu rõ về sự đồng quy của ba đường trung trực và ba đường cao trong một tam giác. Việc nắm vững lý thuyết và phương pháp giải bài tập sẽ giúp các em tự tin hơn trong quá trình học tập môn Toán.