các bài toán sử dụng nguyên lý cực hạn

Tài liệu gồm 20 trang, được trích đoạn từ cuốn sách Phân dạng và phương pháp giải toán số học và tổ hợp của tác giả Nguyễn Quốc Bảo, hướng dẫn giải các bài toán sử dụng nguyên lý cực hạn, giúp học sinh ôn tập thi học sinh giỏi Toán bậc THCS và luyện thi vào lớp 10 môn Toán.

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Nguyên lý cực hạn.

Nguyên lí cực hạn được phát biểu đơn giản như sau:

Nguyên lí 1: Trong một tập hữu hạn và khác rỗng các số thực luôn luôn có thể chọn được số bé nhất và số lớn nhất.

Nguyên lí 2: Trong một tập khác rỗng các số tự nhiên luôn luôn có thể chọn được số bé nhất.

Nhờ nguyên lý này ta có thể xét các phần tử mà một đại lượng nào đó có giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất, chẳng hạn:

+ Xét đoạn thẳng lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) trong một số hữu hạn đoạn thẳng.

+ Xét góc lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) trong một số hữu hạn góc.

+ Xét đa giác có diện tích hoặc chu vi nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) trong một số hữu hạn đa giác.

+ Xét khoảng cách lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) trong một số hữu hạn khoảng cách giữa hai điểm hoặc khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.

+ Xét các điểm là đầu mút của một đoạn thẳng, xét các điểm ở phía trái nhất hoặc phải nhất của một đoạn thẳng (giả thiết là đoạn thẳng nằm ngang).

Nguyên lí cực hạn thường được sử dụng kết hợp với các phương pháp khác, đặc biệt là phương pháp phản chứng, được vận dụng trong trong trường hợp tập các giá trị cần khảo sát chỉ tập hợp hữu hạn (nguyên lí 1) hoặc có thể có vô hạn nhưng tồn tại một phần tử lớn nhất hoặc nhỏ nhất (nguyên lí 2).

2. Các bước áp dụng nguyên lý cực hạn khi giải toán.

Khi vận dụng nguyên lí này, ta phải tiến hành các bước sau:

+ Bước 1. Chứng minh rằng trong tất cả các giá trị cần khảo sát luôn tồn tại giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất.

+ Bước 2. Xét bài toán trong trường hợp riêng khi nó nhận giá trị này (nhỏ nhất hoặc lớn nhất).

+ Bước 3. Chỉ ra một mâu thuẫn, chỉ ra một giá trị còn nhỏ hơn (hay lớn hơn) giá trị ta đang khảo sát.

Theo nguyên lí của phương pháp phản chứng, ta sẽ suy ra điều phải chứng minh.

B. BÀI TẬP VẬN DỤNG

C. HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ