các bài toán về phần nguyên trong số học

Tài liệu gồm 33 trang, được trích đoạn từ cuốn sách Phân dạng và phương pháp giải toán số học và tổ hợp của tác giả Nguyễn Quốc Bảo, hướng dẫn giải các bài toán về phần nguyên trong số học, giúp học sinh ôn tập thi học sinh giỏi Toán bậc THCS và luyện thi vào lớp 10 môn Toán.

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Định nghĩa.

+ Phần nguyên của số thực x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x, kí hiệu là [x].

+ Phần lẻ của số thực x là hiệu của x với phần nguyên của nó, kí hiệu là {x}.

2. Tính chất.

B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Dạng 1: Tìm phần nguyên của một số hoặc một biểu thức.

Để tính giá trị một biểu thức chứa phần nguyên, ta cần sử dụng các tính chất của phần nguyên, kết hợp với các kĩ thuật tính toán khác đặc biệt là phương pháp “kẹp”.

Dạng 2: Chứng minh một đẳng thức chứa phần nguyên.

Chứng minh các hệ thức chứa phần nguyên thực chất có thể coi là chứng minh các tính chất của phần nguyên. Để chứng minh các hệ thức chứa phần nguyên ta phải sử dụng các tính chất đã được nêu trong phần lý thuyết, kết hợp với các kĩ thuật đại số và số học.

Dạng 3: Phương trình chứa phần nguyên.

1. Phương trình có dạng [f(x)] = a (a thuộc Z).

2. Phương trình có dạng [f(x)] = g(x).

3. Phương trình có dạng [f(x)] = [g(x)].

4. Phương trình chứa nhiều dấu phần nguyên.

Sử dụng tính chất của phần nguyên, phân tích đa thức thành nhân tử, đặt ẩn phụ (nếu cần) để đưa về phương trình ít phần nguyên hơn.

5. Phương trình dạng hỗi hợp.

Có những phương trình chứa của phần nguyên và phần dư, hoặc phần nguyên với các phép toán khác (lũy thừa, căn thức …) ta xếp chúng vào dạng phương trình hỗn hợp. Giải chúng nói chung là khó, cần kết hợp nhiều suy luận và kĩ thuật khác nhau, như dùng định nghĩa, chia khoảng, sử dụng tính chất số nguyên của [x] hoặc tính chất 0 ≤ {x} < 1, các tính chất x nguyên khi và chỉ khi {x} = 0 hoặc [x] = x, các phương pháp của đại số như đặt ẩn phụ, biến đổi tương đương hệ phương trình.

Dạng 4: Bất phương trình chứa phần nguyên.

Khi giải bất phương trình có chứa dấu phần nguyên, ta thường đặt biểu thức [f(x)] = t (t nguyên) để chuyển về giải bất phương trình không còn chứa dấu phần nguyên, rồi vận dụng định nghĩa và tính chất của phần nguyên để tìm ra nghiệm của bất phương trình.

Dạng 5: Phần nguyên trong chứng minh một số dạng toán số học.

Phần nguyên được ứng dụng khá nhiều trong giải các bài toán số học về số tận cùng, chia hết, số nguyên tố … chúng ta cùng đến với các ví dụ cụ thể.

Dạng 6: Chứng minh bất đẳng thức có chứa phần nguyên.

Để chứng minh các bất đẳng thức phần nguyên ta phải sử dụng linh hoạt các tính chất đã được nêu trong phần lý thuyết.

C. BÀI TẬP ÁP DỤNG

D. HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ