giải bài tập sgk giải tích 12 nâng cao: dạng lượng giác của số phức và ứng dụng

Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao: Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng.

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 27. Hãy tìm dạng lượng giác của các số phức: \(\overline z \); \( – z\); \(\frac{1}{z}\); \(Kz\) \(\left( {K \in {R^*}} \right)\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \(z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\) \((r /> 0).\)

b) \(z = 1 + i\sqrt 3 .\)

Lời giải:

a) Ta có:

\(\overline z = r(\cos \varphi – i\sin \varphi ).\)

\( – z = – r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\) \( = r(\cos (\varphi + \pi ) + i\sin (\varphi + \pi )).\)

\(\frac{1}{z} = \frac{1}{{r(\cos \varphi – i\sin \varphi )}}\) \( = \frac{{\cos \varphi + i\sin \varphi }}{r}\) \( = \frac{1}{r}(\cos \varphi + i\sin \varphi ).\)

\(Kz\) là một số phức có môđun là \(|Kz| = |K|.|z| = |K|.r.\), có acgumen là \(\varphi \) nếu \(K /> 0\), là \(\varphi + \pi \) nếu \(K < 0.\)

Vậy \(Kz = |K|.r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\) nếu \(K/> 0.\)

\(Kz = |K|.r(\cos (\varphi + \pi ) + i\sin (\varphi + \pi ))\) nếu \(K /> 0.\)

b) Khi \(z = 1 + i\sqrt 3 \) \( \Leftrightarrow z = 2\left( {\frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\) \( = 2\left( {\cos \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{3}} \right).\)

Nên:

\(\bar z = 2\left( {\cos \frac{\pi }{3} – i\sin \frac{\pi }{3}} \right).\)

\( – z = – 2\left( {\cos \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{3}} \right)\) \( = 2\left( {\cos \frac{{4\pi }}{3} + i\sin \frac{{4\pi }}{3}} \right).\)

\(\frac{1}{z} = \frac{1}{2}\left( {\cos \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{3}} \right).\)

\(Kz = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{2|K|\left( {\cos \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{3}} \right)}&{{\rm{với}}\,\,k /> 0}\\

{2|K|\left( {\cos \frac{{4\pi }}{3} + i\sin \frac{{4\pi }}{3}} \right)}&{{\rm{với}}\,\,k < 0}

\end{array}} \right..\)

Bài 28. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:

a) \(1 – i\sqrt 3 \); \(1 + i\); \((1 – i\sqrt 3 )(1 + i)\); \(\frac{{1 – i\sqrt 3 }}{{1 + i}}.\)

b) \(2i(\sqrt 3 – i).\)

c) \(\frac{1}{{2 + 2i}}.\)

d) \(z = \sin \varphi + i\cos \varphi \) \((\varphi \in R).\)

Lời giải:

a) \(z = 1 – i\sqrt 3 \) \( = 2\left( {\frac{1}{2} – i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\) \( = 2\left( {\cos \frac{\pi }{3} – i\sin \frac{\pi }{3}} \right)\) \( = 2\left( {\cos \frac{{ – \pi }}{3} + i\sin \frac{{ – \pi }}{3}} \right).\)

\(z’ = 1 + i\) \( = \sqrt 2 \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} + i\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\) \( = \sqrt 2 \left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right).\)

\((1 – i\sqrt 3 )(1 + i) = z.z’.\)

Mà: \(z = 2\left( {\cos \frac{\pi }{3} – i\sin \frac{\pi }{3}} \right)\) \( = 2\left( {\cos \left( { – \frac{\pi }{3}} \right) + i\sin \left( { – \frac{\pi }{3}} \right)} \right).\)

\(z’ = \sqrt 2 \left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right).\)

Nên \(z.z’\) \( = 2\sqrt 2 \left( {\cos \left( {\frac{\pi }{4} – \frac{\pi }{3}} \right) + i\sin \left( {\frac{\pi }{4} – \frac{\pi }{3}} \right)} \right)\) \( = 2\sqrt 2 \left( {\cos \frac{{ – \pi }}{{12}} + i\sin \left( { – \frac{\pi }{{12}}} \right)} \right).\)

\(\frac{{1 – i\sqrt 3 }}{{1 + i}}\) \( = \frac{z}{{z’}}\) \( = \frac{2}{{\sqrt 2 }}\left( {\cos \left( { – \frac{\pi }{3} – \frac{\pi }{4}} \right) + i\sin \left( { – \frac{\pi }{3} – \frac{\pi }{4}} \right)} \right).\)

\( = \sqrt 2 \left[ {\cos \left( {\frac{{ – 7\pi }}{{12}}} \right) + i\sin \left( {\frac{{ – 7\pi }}{{12}}} \right)} \right].\)

b) \(2i(\sqrt 3 – i)\) \( = 2\left( {i\sqrt 3 – {i^2}} \right)\) \( = 2(1 + i\sqrt 3 )\) \( = 4\left( {\frac{1}{2} + i.\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\) \( = 4\left( {\cos \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{3}} \right).\)

c) \(\frac{1}{{2 + 2i}}\) \( = \frac{{2 – 2i}}{8}\) \( = \frac{1}{4}(1 – i)\) \( = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} – i.\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right).\)

\( = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\left( {\cos \frac{\pi }{4} – i\sin \frac{\pi }{4}} \right)\) \( = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\left[ {\cos \left( {\frac{{ – \pi }}{4}} \right) + i\sin \left( {\frac{{ – \pi }}{4}} \right)} \right].\)

d) \(z = \sin \varphi + i\cos \varphi \) \( = \cos \left( {\frac{\pi }{2} – \varphi } \right) + i\sin \left( {\frac{\pi }{2} – \varphi } \right).\)

Bài 29. Dùng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn \({(1 + i)^{19}}\) và công thức Moa-vrơ để tính: \(C_{19}^0 – C_{19}^2 + C_{19}^4 – \ldots \ldots + C_{19}^{16} – C_{19}^{18}.\)

Lời giải:

Theo nhị thức Niutơn ta có:

\({(1 + i)^{19}}\) \( = C_{19}^0 + iC_{19}^1\) \( + {i^2}C_{19}^2 + {i^3}C_{19}^3\) \( + \ldots + {i^{18}}C_{19}^{18} + {i^{19}}C_{19}^{19}.\)

\( = \left( {C_{19}^0 – C_{19}^2 + C_{19}^4 – C_{19}^6 + \ldots – C_{19}^{18}} \right)\) \( + i\left( {C_{19}^1 – C_{19}^3 + \ldots – C_{19}^{19}} \right).\)

Mặt khác ta có \(1 + i\) \( = \sqrt 2 \left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right).\)

Nên theo công thức Moa-vrơ ta có:

\({(1 + i)^{19}}\) \( = {\left[ {\sqrt 2 \left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right)} \right]^{19}}\) \( = {(\sqrt 2 )^{19}}.\left( {\cos \frac{{19\pi }}{4} + i\sin \frac{{19\pi }}{4}} \right).\)

\( = {(\sqrt 2 )^{19}}.\left( {\cos \frac{{3\pi }}{4} + i\sin \frac{{3\pi }}{4}} \right)\) \( = {(\sqrt 2 )^{19}}\left( {\frac{{ – \sqrt 2 }}{2} + i\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right).\)

\( = – \frac{{{{(\sqrt 2 )}^{20}}}}{2} + i\frac{{{{(\sqrt 2 )}^{20}}}}{2}\) \( = – {2^9} + i{.2^9}.\)

Vậy \(C_{19}^0 – C_{19}^2 + C_{19}^4 – \ldots + C_{19}^{16} – C_{19}^{18}\) \( = – {2^9} = – 512.\)

Bài 30. Gọi \(M\), \(M’\) là các điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số \(z = 3 + i\), \(z’ = (3 – \sqrt 3 ) + (1 + 3\sqrt 3 )i.\)

a) Tính \(\frac{{z’}}{z}.\)

b) Chứng minh rằng hiệu số acgumen của \(z’\) với acgumen của \(z\) là một số đo của góc lượng giác \((OM;OM’).\) Tính số đo đó.

Lời giải:

Ta có: \(\frac{{z’}}{z}\) \( = \frac{{(3 – \sqrt 3 ) + (1 + 3\sqrt 3 )i}}{{3 + i}}\) \( = \frac{{[(3 – \sqrt 3 ) + (1 + 3\sqrt 3 )i](3 – i)}}{{(3 + i)(3 – i)}}.\)

\( = \frac{{10 + 10\sqrt 3 i}}{{10}}\) \( = 1 + \sqrt 3 i.\)

b) Ta có: \(M = (3;1)\), \(M’ = (3 – \sqrt 3 ;1 + 3\sqrt 3 ).\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {OM} = (3;1)\), \(\overrightarrow {OM’} = (3 – \sqrt 3 ;1 + 3\sqrt 3 ).\)

\( \Rightarrow \cos \left( {OM,OM’} \right)\) \( = \cos \left( {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {OM’} } \right)\) \( = \frac{{\overrightarrow {OM} .\overrightarrow {OM’} }}{{|\overrightarrow {OM} |.|\overrightarrow {OM’} |}} = \frac{1}{2}\) \((1).\)

Mặt khác: \(\frac{{z’}}{z}\) \( = \frac{{\left| {z’} \right|}}{z}\left[ {\cos \left( {\varphi ‘ – \varphi } \right) + i\sin \left( {\varphi ‘ – \varphi } \right)} \right].\)

\( = \frac{{\sqrt {40} }}{{\sqrt {10} }}\left[ {\cos \left( {\varphi ‘ – \varphi } \right) + i\sin \left( {\varphi ‘ – \varphi } \right)} \right]\) \( = 2\cos \left( {\varphi ‘ – \varphi } \right) + 2i\sin \left( {\varphi ‘ – \varphi } \right).\)

Theo câu a, ta có \(\frac{{z’}}{z} = 1 + \sqrt 3 i\), suy ra \(2.\cos \left( {\varphi ‘ – \varphi } \right) = 1.\)

\( \Rightarrow \cos \left( {\varphi ‘ – \varphi } \right) = \frac{1}{2}\) \((2).\)

Từ \((1)\) và \((2)\) ta có: \(\cos \left( {\varphi ‘ – \varphi } \right) = \cos \left( {OM,OM’} \right)\) nên hiệu \(\varphi ‘ – \varphi \) là một số đo của góc lượng giác \(\left( {OM,OM’} \right)\) và số đo đó là: \(\varphi ‘ – \varphi = \frac{\pi }{3} + k2\pi .\)

Bài 31. Cho các số phức \(w = \frac{{\sqrt 2 }}{2}(1 + i)\) và \(\varepsilon = \frac{1}{2}( – 1 + i\sqrt 3 ).\)

a) Chứng minh rằng \({z_0} = \cos \frac{\pi }{{12}} + i\sin \frac{\pi }{{12}}\), \({z_1} = {z_0}\varepsilon \), \({z_2} = {z_0}{\varepsilon ^2}\) là các nghiệm của phương trình \({z^3} – w = 0.\)

b) Biểu diễn hình học các số phức \({z_0}\), \({z_1}\), \({z_2}.\)

Lời giải:

a) Ta có \({z_0} = \cos \frac{\pi }{{12}} + i\sin \frac{\pi }{{12}}\) \( \Rightarrow z_0^3 = \cos \frac{{3\pi }}{{12}} + i\sin \frac{{3\pi }}{{12}}\) \( = \cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}.\)

Vậy \(z_0^3 – w = 0\) hay \({z_0}\) là một nghiệm của phương trình: \({z^3} – w = 0.\)

Ta lại có: \(\varepsilon = \frac{1}{2}( – 1 + i\sqrt 3 )\) \( = – \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\) \( = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) + i\sin \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right).\)

Nên \({z_1} = {z_0}.\varepsilon \) \( = \cos \left( {\frac{\pi }{{12}} + \frac{{2\pi }}{3}} \right) + i\sin \left( {\frac{\pi }{{12}} + \frac{{2\pi }}{3}} \right)\) \( = \cos \frac{{3\pi }}{4} + i\sin \frac{{3\pi }}{4}.\)

\( \Rightarrow z_1^3 = \cos \left( {\frac{{9\pi }}{4}} \right) + i\sin \left( {\frac{{9\pi }}{4}} \right)\) \( = \cos \left( {2\pi + \frac{\pi }{4}} \right) + i\sin \left( {2\pi + \frac{\pi }{4}} \right).\)

\( = \cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}\) \( = \frac{{\sqrt 2 }}{2}(1 + i) = w.\)

Vậy \(z_1^3 – w = 0\), hay \({z_1}\) là một nghiệm của phương trình \({z^3} – w = 0.\)

Ta có: \({z_2} = {z_0}.{\varepsilon ^2}\) \( = \cos \left( {\frac{\pi }{{12}} + \frac{{4\pi }}{3}} \right) + i\sin \left( {\frac{\pi }{{12}} + \frac{{4\pi }}{3}} \right)\) \( = \cos \left( {\frac{{17\pi }}{{12}}} \right) + i\sin \left( {\frac{{17\pi }}{2}} \right).\)

\( \Rightarrow z_2^3 = \cos \left( {\frac{{17\pi }}{4}} \right) + i\sin \left( {\frac{{17\pi }}{4}} \right)\) \( = \cos \left( {4\pi + \frac{\pi }{4}} \right) + i\sin \left( {4\pi + \frac{\pi }{4}} \right)\) \( = \cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}.\)

Vậy \(z_2^3 = \frac{{\sqrt 2 }}{2}(1 + i) = w\) hay \(z_2^3 – w = 0.\)

Vậy \({z_2}\) cũng là một nghiệm của phương trình \({z^3} – w = 0.\)

b) Các điểm \(A\), \(B\), \(C\) lần lượt biểu diễn các số:

\({z_0} = \cos \frac{\pi }{{12}} + i\sin \frac{\pi }{{12}}\), \({z_1} = \cos \frac{{3\pi }}{4} + i\sin \frac{{3\pi }}{4}\), \({z_2} = \cos \frac{{17\pi }}{{12}} + i\sin \frac{{17\pi }}{{12}}.\)

Nhận xét: ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) tạo thành một tam giác đều.

LUYỆN TẬP

Bài 32. Sử dụng công thức Moa-vrơ để tính \(\sin 4\varphi \) và \(\cos 4\varphi \) theo các lũy thừa \(\sin \varphi \) và \(\cos \varphi .\)

Lời giải:

Theo công thức Moa-vrơ ta có:

\({(\cos \varphi + i\sin \varphi )^4}\) \( = \cos 4\varphi + i\sin 4\varphi .\)

\( \Leftrightarrow \left( {{{\cos }^4}\varphi – 6{{\sin }^2}\varphi {{\cos }^2}\varphi + {{\sin }^4}\varphi } \right)\) \( + 4\left( {{{\cos }^3}\varphi \sin \varphi – {{\sin }^3}\varphi \cos \varphi } \right)i\) \( = \cos 4\varphi + i\sin 4\varphi .\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\cos 4\varphi = {{\cos }^4}\varphi – 6{{\sin }^2}\varphi {{\cos }^2}\varphi + {{\sin }^4}\varphi }\\

{\sin 4\varphi = 4\left( {{{\cos }^3}\varphi \sin \varphi – {{\sin }^3}\varphi \cos \varphi } \right)}

\end{array}} \right..\)

Bài 33. Tính: \({(\sqrt 3 – i)^6}\); \({\left( {\frac{i}{{1 + i}}} \right)^{2004}}\); \({\left( {\frac{{5 + 3i\sqrt 3 }}{{1 – 2i\sqrt 3 }}} \right)^{21}}.\)

Lời giải:

Ta có: \(\sqrt 3 – i\) \( = 2\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{1}{2}i} \right)\) \( = 2\left( {\cos \left( {\frac{{ – \pi }}{6}} \right) + i\sin \left( {\frac{{ – \pi }}{6}} \right)} \right).\)

Nên \({(\sqrt 3 – i)^6}\) \( = {2^6}\left( {\cos \left( {\frac{{ – 6\pi }}{6}} \right) + i\sin \left( {\frac{{ – 6\pi }}{6}} \right)} \right)\) \( = 64(\cos ( – \pi ) + i\sin ( – \pi ))\) \( = – 64.\)

Ta có: \(\frac{i}{{1 + i}}\) \( = \frac{{i(1 – i)}}{{(1 + i)(1 – i)}}\) \( = \frac{{1 + i}}{2}\) \( = \frac{1}{2}(1 + i)\) \( = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} + i\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right).\)

\( = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right).\)

Nên: \({\left( {\frac{i}{{1 + i}}} \right)^{2004}}\) \( = {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^{2004}}.\left( {\cos \frac{{2004\pi }}{4} + i\sin \frac{{2004\pi }}{4}} \right).\)

\( = {\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)^{2004}}(\cos (501\pi + i\sin (501\pi ))\) \( = \frac{1}{{{2^{1002}}}}(\cos \pi + i\sin \pi )\) \( = \frac{{ – 1}}{{{2^{1002}}}}.\)

\(\frac{{5 + 3i\sqrt 3 }}{{1 – 2i\sqrt 3 }}\) \( = \frac{{(5 + 3i\sqrt 3 )(1 + 2i\sqrt 3 )}}{{(1 – 2i\sqrt 3 )(1 + 2i\sqrt 3 )}}\) \( = \frac{{ – 13 + 13i\sqrt 3 }}{{13}}\) \( = – 1 + i\sqrt 3 .\)

\( = 2\left( { – \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)\) \( = 2\left( {\cos \frac{{2\pi }}{3} + i\sin \frac{{2\pi }}{3}} \right).\)

Nên \({\left( {\frac{{5 + 3i\sqrt 3 }}{{1 – 2i\sqrt 3 }}} \right)^{21}}\) \( = {2^{21}}(\cos 14\pi + i\sin 14\pi )\) \( = {2^{21}}.\)

Bài 34. Cho số phức \(w = – \frac{1}{2}(1 + i\sqrt 3 ).\) Tìm các số nguyên dương \(n\) để \({w^n}\) là số thực. Hỏi có số nguyên dương \(m\) nào để \({w^m}\) là số ảo?

Lời giải:

Ta có: \(w = – \frac{1}{2} – i\frac{{\sqrt 3 }}{2}\) \( = \cos \left( {\frac{{4\pi }}{3}} \right) + i\sin \left( {\frac{{4\pi }}{3}} \right).\)

Nên \({w^n} = \cos \frac{{4n\pi }}{3} + i\sin \frac{{4n\pi }}{3}.\)

Để \({w^n}\) là số thực thì \(\sin \frac{{4n\pi }}{3} = 0\) \( \Leftrightarrow \frac{{4n\pi }}{3} = k\pi \) \( \Leftrightarrow n = \frac{{3k}}{4}.\)

Để \(n \in {N^*}\) thì \(k = 4t\) với \(t \in {N^*}.\) Khi đó \(n = 3t\) với \(t \in {N^*}.\)

Để \({w^m}\) là số ảo thì \(\cos \frac{{4m\pi }}{3} = 0\) \( \Leftrightarrow \frac{{4m\pi }}{3} = \frac{\pi }{2} + k\pi .\)

\( \Leftrightarrow 8m = 3 + 6k\) với \(k \in Z\), \(m \in {N^*}.\)

Vì phương trình này vô nghiệm, nên không tồn tại \(m\) để \({w^m}\) là số ảo.

Bài 35. Viết dạng lượng giác của số phức \(z\) và của các căn bậc hai của \(z\) cho mỗi trường hợp sau:

a) \(|z| = 3\) và một acgumen của \(iz\) là \(\frac{{5\pi }}{4}.\)

b) \(|z| = \frac{1}{3}\) và một acgumen của \(\frac{{\overline z }}{{1 + i}}\) là \(\frac{{ – 3\pi }}{4}.\)

Lời giải:

Giả sử \(z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi ).\)

a) Vì \(|z| = 3\) \( \Rightarrow r = 3.\)

Ta có \(i = \cos \frac{\pi }{2} + i\sin \frac{\pi }{2}\) nên \(iz = 3\left( {\cos \left( {\varphi + \frac{\pi }{2}} \right) + i\sin \left( {\varphi + \frac{\pi }{2}} \right)} \right).\)

Theo bài ra ta có: \(\varphi + \frac{\pi }{2} = \frac{{5\pi }}{4}\) \( \Rightarrow \varphi = \frac{{3\pi }}{4}.\)

Vậy \(z = 3\left( {\cos \frac{{3\pi }}{4} + i\sin \frac{{3\pi }}{4}} \right).\)

\(z\) có hai căn bậc hai là \({z_1} = \sqrt 3 \left( {\cos \frac{{3\pi }}{8} + i\sin \frac{{3\pi }}{8}} \right)\) và \({z_2} = – \sqrt 3 \left( {\cos \frac{{3\pi }}{8} + i\sin \frac{{3\pi }}{8}} \right)\) \( = \sqrt 3 \left( {\cos \frac{{11\pi }}{8} + i\sin \frac{{11\pi }}{8}} \right).\)

b) Vì \(|z| = \frac{1}{3}\) \( \Rightarrow r = \frac{1}{3}.\)

Ta có \(1 + i\) \( = \sqrt 2 \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} + i\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\) \( = \sqrt 2 \left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right).\)

\(\overline z = \frac{1}{3}(\cos \varphi – i\sin \varphi )\) \( = \frac{1}{3}[\cos ( – \varphi ) + i\sin ( – \varphi )].\)

Vậy \(\frac{{\bar z}}{{1 + i}}\) \( = \frac{1}{{3\sqrt 2 }}\left( {\cos \left( { – \varphi – \frac{\pi }{4}} \right) + i\sin \left( { – \varphi – \frac{\pi }{4}} \right)} \right).\)

Theo bài ra ta có: \( – \varphi – \frac{\pi }{4} = – \frac{{3\pi }}{4}\) \( \Rightarrow \varphi = \frac{\pi }{2}.\)

Vậy \(z = \frac{1}{3}\left( {\cos \frac{\pi }{2} + i\sin \frac{\pi }{2}} \right).\)

\(z\) có hai căn bậc hai là: \({z_1} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right)\) và \({z_2} = – \frac{1}{{\sqrt 3 }}\left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right)\) \( = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\left( {\cos \frac{{5\pi }}{4} + i\sin \frac{{5\pi }}{4}} \right).\)

Bài 36. Viết dưới dạng lượng giác các số phức:

a) \(1 – i\tan \frac{\pi }{5}.\)

b) \(\tan \frac{{5\pi }}{8} + i.\)

c) \(1 – \cos \varphi – i\sin \varphi \) (\(\varphi \in R\), \(\varphi \ne k2\pi \), \(k \in Z\)).

Lời giải:

a) \(z = 1 – i\tan \frac{\pi }{5}.\)

\( = 1 – i.\frac{{\sin \frac{\pi }{5}}}{{\cos \frac{\pi }{5}}}\) \( = \frac{1}{{\cos \frac{\pi }{5}}}\left( {\cos \frac{\pi }{5} – i\sin \frac{\pi }{5}} \right)\) \( = \frac{1}{{\cos \frac{\pi }{5}}}\left( {\cos \left( { – \frac{\pi }{5}} \right) + i\sin \left( { – \frac{\pi }{5}} \right)} \right).\)

b) \(z = \tan \frac{{5\pi }}{8} + i.\)

\( = \frac{{\sin \frac{{5\pi }}{8}}}{{\cos \frac{{5\pi }}{8}}} + i\) \( = \frac{1}{{\cos \frac{{5\pi }}{8}}}\left( {\sin \frac{{5\pi }}{8} + i\cos \frac{{5\pi }}{8}} \right)\) \( = \frac{1}{{\cos \frac{{5\pi }}{8}}}\left[ {\cos \left( { – \frac{\pi }{4}} \right) + i\sin \left( { – \frac{\pi }{4}} \right)} \right].\)

c) \(z = (1 – \cos \varphi ) – i\sin \varphi \) \( = 2{\sin ^2}\frac{\varphi }{2} – i2\sin \frac{\varphi }{2}\cos \frac{\varphi }{2}.\)

\( = 2\sin \frac{\varphi }{2}\left( {\sin \frac{\varphi }{2} – i\cos \frac{\varphi }{2}} \right)\) \( = 2\sin \frac{\varphi }{2}\left[ {\cos \left( {\frac{{\varphi – \pi }}{2}} \right) + i\sin \left( {\frac{{\varphi – \pi }}{2}} \right)} \right]\) (nếu \(\sin \frac{\varphi }{2} /> 0\)).

Hoặc \(z = \left( { – 2\sin \frac{\varphi }{2}} \right)\left[ {\cos \left( {\frac{{\varphi + \pi }}{2}} \right) + i\sin \left( {\frac{{\varphi + \pi }}{2}} \right)} \right]\) (nếu \({\sin \frac{\varphi }{2} < 0}\)).