giải bài tập sgk giải tích 12 nâng cao: lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao: Lũy thừa với số mũ hữu tỉ.

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 1. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

a) Với số thực \(a\) và các số nguyên \(m\), \(n\), ta có: \({a^m}.{a^n} = {a^{m.n}}\), \(\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m:n}}.\)

b) Với hai số thực \(a\), \(b\) cùng khác \(0\) và số nguyên \(n\), ta có \({(ab)^n} = {a^n}{b^n}\), \({\left( {\frac{a}{b}} \right)^n} = \frac{{{a^n}}}{{{b^n}}}.\)

c) Với hai số thực \(a\), \(b\) thỏa mãn \(0 < a < b\) và số nguyên \(n\), ta có \({a^n} < {b^n}.\)

d) Với số thực \(a \ne 0\) và hai số nguyên \(m\), \(n\), ta có: Nếu \(m /> n\) thì \({a^m} /> {a^n}.\)

Lời giải:

a) Sai. \({a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}\), \(\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m – n}}.\)

b) Đúng.

c) Sai. Chẳng hạn \({a^0} = {b^0}.\)

d) Sai. Chẳng hạn \({( – 1)^3} < {( – 1)^2}.\)

Bài 2. Xét khẳng định: “Với số thực \(a\) và hai số hữu tỉ \(r\), \(s\) ta có \({\left( {{a^r}} \right)^s} = {a^{r.s}}.\) Với điều kiện nào trong các điều kiện sau thì khẳng định trên là đúng?

(A) \(a\) bất kỳ.

(B) \(a \ne 0.\)

(C) \(a /> 0.\)

(D) \(a < 0.\)

Lời giải:

Điều kiện (C). Vì theo tính chất của lũy thừa với số mũ hữu tỉ.

Bài 3. Viết các số sau dưới dạng số nguyên hay phân số tối giản:

\({7^{ – 1}}.14.\)

\(\frac{4}{{{3^{ – 2}}}}.\)

\({\left( {\frac{4}{5}} \right)^{ – 2}}.\)

\(\frac{{{{( – 18)}^2}.5}}{{{{15}^2}.3}}.\)

Lời giải:

\({7^{ – 1}}.14 = \frac{1}{7}.14 = \frac{{14}}{7} = 2.\)

\(\frac{4}{{{3^{ – 2}}}} = {4.3^2} = 36.\)

\({\left( {\frac{4}{5}} \right)^{ – 2}} = {\left( {\frac{5}{4}} \right)^2} = \frac{{25}}{{16}}.\)

\(\frac{{{{( – 18)}^2}.5}}{{{{15}^2}.3}} = \frac{{{{18}^2}.5}}{{{{15}^2}.3}} = \frac{{12}}{5}.\)

Bài 4. Thực hiện phép tính:

a) \({81^{ – 0,75}} + {\left( {\frac{1}{{125}}} \right)^{ – \frac{1}{3}}} – {\left( {\frac{1}{{32}}} \right)^{ – \frac{3}{5}}}.\)

b) \({(0,001)^{ – \frac{1}{3}}} – {( – 2)^2}{.64^{\frac{2}{3}}} – {8^{ – 1\frac{1}{3}}} + {\left( {{9^0}} \right)^2}.\)

c) \({27^{\frac{2}{3}}} + {\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^{ – 0,75}} – {25^{0,5}}.\)

d) \({( – 0,5)^{ – 4}} – {625^{0,25}} – {\left( {2\frac{1}{4}} \right)^{ – 1\frac{1}{2}}} + 19{( – 3)^{ – 3}}.\)

Lời giải:

a) \({81^{ – 0,75}} + {\left( {\frac{1}{{125}}} \right)^{ – \frac{1}{3}}} – {\left( {\frac{1}{{32}}} \right)^{ – \frac{3}{5}}}\) \( = {81^{ – \frac{3}{4}}} + {(125)^{\frac{1}{3}}} – {(32)^{\frac{3}{5}}}\) \( = \frac{1}{{{{81}^{\frac{3}{4}}}}} + \sqrt[3]{{125}} – \sqrt[5]{{{{32}^3}}}.\)

\( = \frac{1}{{{{(\sqrt[4]{{81}})}^3}}} + \sqrt[3]{{125}} – {(\sqrt[5]{{32}})^3}\) \( = \frac{1}{{{3^3}}} + 5 – {2^3}\) \( = \frac{1}{{27}} – 3\) \( = – \frac{{80}}{{27}}.\)

b) \({(0,001)^{ – \frac{1}{3}}} – {( – 2)^2}{.64^{\frac{2}{3}}} – {8^{ – 1\frac{1}{3}}} + {\left( {{9^0}} \right)^2}\) \( = \frac{1}{{\sqrt[3]{{0,001}}}} – 4.{(\sqrt[3]{{64}})^2} – \frac{1}{{{{(\sqrt[3]{8})}^4}}} + 1.\)

\( = \frac{1}{{0,1}} – 4.16 – \frac{1}{{16}} + 1\) \( = \frac{{116}}{{16}}.\)

c) \({27^{\frac{2}{3}}} + {\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^{ – 0,75}} – {25^{0,5}}\) \( = {(\sqrt[3]{{27}})^2} + {16^{\frac{3}{4}}} – {25^{\frac{1}{2}}}\) \( = {3^2} + {2^3} – 5\) \( = 12.\)

d) \({( – 0,5)^{ – 4}} – {625^{0,25}} – {\left( {2\frac{1}{4}} \right)^{ – 1\frac{1}{2}}} + 19{( – 3)^{ – 3}}\) \( = \frac{1}{{{{( – 0,5)}^4}}} – \sqrt[4]{{625}} – {\left( {\frac{4}{9}} \right)^{\frac{3}{2}}} + 19.\frac{1}{{ – 27}}.\)

\( = 16 – 5 – \frac{8}{{27}} – \frac{{19}}{{27}}\) \( = 10.\)

Bài 5. Đơn giản biểu thức:

a) \(\frac{{{{(\sqrt[4]{{{a^3}{b^2}}})}^4}}}{{\sqrt[3]{{\sqrt {{a^{12}}{b^6}} }}}}.\)

b) \(\frac{{{a^{\frac{1}{3}}} – {a^{\frac{7}{3}}}}}{{{a^{\frac{1}{3}}} – {a^{\frac{4}{3}}}}} – \frac{{{a^{ – \frac{1}{3}}} – {a^{\frac{5}{3}}}}}{{{a^{\frac{2}{3}}} + {a^{ – \frac{1}{3}}}}}.\)

Lời giải:

a) \(\frac{{{{(\sqrt[4]{{{a^3}{b^2}}})}^4}}}{{\sqrt[3]{{\sqrt {{a^{12}}{b^6}} }}}} = \frac{{{a^3}{b^2}}}{{\sqrt[3]{{{a^6}{b^3}}}}}\) \( = \frac{{{a^3}{b^2}}}{{{a^2}b}} = ab.\)

b) \(\frac{{\sqrt[3]{a} – \sqrt[3]{{{a^7}}}}}{{\sqrt[3]{a} – \sqrt[3]{{{a^4}}}}} – \frac{{\frac{1}{{\sqrt[3]{a}}} – \sqrt[3]{{{a^5}}}}}{{\sqrt[3]{{{a^2}}} + \frac{1}{{\sqrt[3]{a}}}}}\) \( = \frac{{\sqrt[3]{a} – {a^2}.\sqrt[3]{a}}}{{\sqrt[3]{a} – a\sqrt[3]{a}}} – \frac{{1 – \sqrt[3]{{{a^6}}}}}{{\sqrt[3]{{{a^3}}} + 1}}\) \( = \frac{{\left( {1 – {a^2}} \right)\sqrt[3]{a}}}{{(1 – a)\sqrt[3]{a}}} – \frac{{1 – {a^2}}}{{a + 1}}.\)

\( = (1 + a) – (1 – a) = 2a.\)

Bài 6. So sánh các số:

a) \(\sqrt 2 \) và \(\sqrt[3]{3}.\)

b) \(\sqrt 3 + \sqrt[3]{{30}}\) và \(\sqrt[3]{{63}}.\)

c) \(\sqrt[3]{7} + \sqrt {15} \) và \(\sqrt {10} + \sqrt[3]{{28}}.\)

Lời giải:

a) Giả sử \(\sqrt 2 < \sqrt[3]{3}\) \( \Leftrightarrow {(\sqrt 2 )^3} < 3\) \( \Leftrightarrow 2\sqrt 2 < 3\) \( \Leftrightarrow 8 < 9\) đúng.

Vậy \(\sqrt 2 < \sqrt[3]{3}.\)

b) Giả sử \(\sqrt 3 + \sqrt[3]{{30}} < \sqrt[3]{{63}}\) \( \Leftrightarrow 3\sqrt 3 + 9\sqrt[3]{{30}} + 3\sqrt 3 \sqrt[3]{{{{30}^2}}} < 63 – 30.\)

\( \Leftrightarrow 3\sqrt 3 + 9\sqrt[3]{{30}} + 3\sqrt 3 \sqrt[3]{{{{30}^2}}} < 33\) \((*).\)

Ta có: \(3\sqrt[3]{3} /> 3.\)

\(9\sqrt[3]{{30}} /> 9\sqrt[3]{{27}} = 27.\)

\(3\sqrt 3 \sqrt[3]{{{{30}^2}}} /> 3\sqrt[3]{{27.27}} = 27\) \( \Rightarrow \sqrt[3]{3} + 9\sqrt[3]{{30}} + 3\sqrt 3 \sqrt[3]{{{{30}^2}}} /> 57 /> 33.\)

Vậy \((*)\) sai \( \Rightarrow \sqrt 3 + \sqrt[3]{{30}} /> \sqrt[3]{{63}}.\)

c) Giả sử \(\sqrt[3]{7} + \sqrt {15} /> \sqrt {10} + \sqrt[3]{{28}}\) \( \Leftrightarrow \sqrt {15} – \sqrt {10} /> \sqrt[3]{{28}} – \sqrt[3]{7}.\)

\( \Leftrightarrow 5 – 2\sqrt {150} /> \sqrt[3]{{{{28}^2}}} – 2\sqrt[3]{{28.7}} + \sqrt[3]{{{7^2}}}.\)

\( \Leftrightarrow 5 + 2\sqrt[3]{{28.7}} /> \sqrt[3]{{{{28}^2}}} + 2\sqrt {155} + \sqrt[3]{{{7^2}}}\) \((*).\)

Do:

\(2\sqrt {155} /> 2\sqrt {125} \) \( = 2.5 = 10 /> 5.\)

\(\sqrt[3]{{{{28}^2}}} = \sqrt[3]{{{4^2}{{.7}^2}{{.4}^2}{{.7}^2}}}\) \( = 2\sqrt[3]{{{{2.7}^2}.28}} /> 2\sqrt[3]{{28.7}}.\)

Vậy \(\sqrt[3]{{{{28}^2}}} + 2\sqrt {155} + \sqrt[3]{{{7^2}}} /> 5 + 2\sqrt[3]{{28.7}}\) \( \Rightarrow (*)\) sai. Vậy \(\sqrt[3]{7} + \sqrt {15} < \sqrt {10} + \sqrt[3]{{28}}.\)

Bài 7. Chứng minh \(\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{{7 – 5\sqrt 2 }} = 2.\)

Lời giải:

Ta có:

\( \Leftrightarrow 7 + 5\sqrt 2 \) \( + 3\sqrt[3]{{{{(7 + 5\sqrt 2 )}^2}}}\sqrt[3]{{7 – 5\sqrt 2 }}\) \( + 3\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }}\sqrt[3]{{{{(7 – 5\sqrt 2 )}^2}}}\) \( + 7 – 5\sqrt 2 = 8.\)

\( \Leftrightarrow 14 + 3\sqrt[3]{{( – 1)(7 + 5\sqrt 2 )}}\) \( + 3\sqrt[3]{{ – 1(7 – 5\sqrt 2 )}} = 8.\)

\( \Leftrightarrow 6 – 3\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} – 3\sqrt[3]{{7 – 5\sqrt 2 }} = 0\) \( \Leftrightarrow 6 – 3(\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{{7 – 5\sqrt 2 }}) = 0.\)

\( \Leftrightarrow 6 – 3.2 = 0\) (điều phải chứng minh).

LUYỆN TẬP

Bài 8. Đơn giản biểu thức:

a) \(M = \frac{{\sqrt a – \sqrt b }}{{\sqrt[4]{a} – \sqrt[4]{b}}} – \frac{{\sqrt a + \sqrt[4]{{ab}}}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}}.\)

b) \(N = \frac{{a – b}}{{\sqrt[3]{a} – \sqrt[3]{b}}} – \frac{{a + b}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}}.\)

c) \(E = \left[ {\frac{{a + b}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}} – \sqrt[3]{{ab}}} \right]:{(\sqrt[3]{a} – \sqrt[3]{b})^2}.\)

d) \(F = \frac{{a – 1}}{{{a^{\frac{3}{4}}} + {a^{\frac{1}{2}}}}} \cdot \frac{{\sqrt a + \sqrt[4]{a}}}{{\sqrt a + 1}}.{a^{\frac{1}{4}}} + 1.\)

Lời giải:

a) \(M = \frac{{(\sqrt[4]{a} – \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})}}{{\sqrt[4]{a} – \sqrt[4]{b}}}\) \( – \frac{{\sqrt[4]{a}(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}}\) \( = \sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b} – \sqrt[4]{a}\) \( = \sqrt[4]{b}.\)

b) \(N = \frac{{(\sqrt[3]{a} – \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{{{a^2}}} + \sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{b^2}}})}}{{\sqrt[3]{a} – \sqrt[3]{b}}}\) \( – \frac{{(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{{{a^2}}} – \sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{b^2}}})}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}}.\)

\( = \sqrt[3]{{{a^2}}} + \sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{b^2}}}\) \( – \sqrt[3]{{{a^2}}} + \sqrt[3]{{ab}} – \sqrt[3]{{{b^2}}}\) \( = 2\sqrt[3]{{ab}}.\)

c) \(E = \left[ {\frac{{(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{{{a^2}}} – \sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{b^2}}})}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}} – \sqrt[3]{{ab}}} \right]\) \(:{(\sqrt[3]{a} – \sqrt[3]{b})^2}.\)

\( = (\sqrt[3]{{{a^2}}} – 2\sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{b^2}}}):{(\sqrt[3]{a} – \sqrt[3]{b})^2}\) \( = 1.\)

d) \(F = \frac{{(\sqrt a – 1)(\sqrt a + 1)}}{{{a^{\frac{3}{4}}} + {a^{\frac{1}{2}}}}}.\frac{{\left( {{a^{\frac{1}{2}}} + {a^{\frac{1}{4}}}} \right){a^{\frac{1}{4}}}}}{{\sqrt a + 1}} + 1\) \( = \frac{{(\sqrt a – 1)\left( {{a^{\frac{3}{4}}} + {a^{\frac{1}{2}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{3}}} + {a^{\frac{1}{2}}}}} + 1\) \( = \sqrt a – 1 + 1\) \( = \sqrt a .\)

Bài 9. Từ tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương, chứng minh \(\sqrt[n]{{ab}} = \sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}\) (\(a \ge 0\), \(b \ge 0\), \(n\) nguyên dương).

Lời giải:

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\sqrt[n]{a} = x}\\

{\sqrt[n]{b} = y}

\end{array}} \right.\) thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x \ge 0}\\

{y \ge 0}

\end{array}} \right..\) Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{a = {x^n}}\\

{b = {y^n}}

\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow ab = {x^n}.{y^n}.\)

Áp dụng tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương, ta có:

\(ab = {(xy)^n}\) \( \Rightarrow xy = \sqrt[n]{{ab}}\) \( \Rightarrow \sqrt[n]{{ab}} = \sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}.\)

Bài 10. Chứng minh:

a) \(\sqrt {4 + 2\sqrt 3 } – \sqrt {4 – 2\sqrt 3 } = 2.\)

b) \(\sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }} + \sqrt[3]{{9 – \sqrt {80} }} = 3.\)

Lời giải:

a) \(\sqrt {4 + 2\sqrt 3 } – \sqrt {4 – 2\sqrt 3 } \) \( = \sqrt {{{(\sqrt 3 + 1)}^2}} – \sqrt {{{(\sqrt 3 – 1)}^2}} \) \( = \sqrt 3 + 1 – (\sqrt 3 – 1)\) \( = 2.\)

b) Đặt \(x = \sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }} + \sqrt[3]{{9 – \sqrt {80} }}\) \( \Rightarrow {x^3} = {(\sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }} + \sqrt[3]{{9 – \sqrt {80} }})^3}.\)

\( \Rightarrow {x^3} = 9 + \sqrt {80} + 9 – \sqrt {80} \) \( + 3\sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }}.\sqrt[3]{{9 – \sqrt {80} }}\left[ {\sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }} + \sqrt[3]{{9 – \sqrt {80} }}} \right].\)

\( \Rightarrow {x^3} = 18 + 3x\) \( \Rightarrow {x^3} – 3x – 18 = 0.\)

\( \Rightarrow (x – 3)\left( {{x^2} + 3x + 6} \right)\) \( \Rightarrow x = 3.\)

Bài 11. So sánh các số:

a) \({(\sqrt 3 )^{ – \frac{5}{6}}}\) và \(\sqrt[3]{{{3^{ – 1}}.\sqrt[4]{{\frac{1}{3}}}}}.\)

b) \({3^{600}}\) và \({5^{400}}.\)

c) \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ – \frac{5}{7}}}\) và \(\sqrt 2 {.2^{\frac{3}{{14}}}}.\)

d) \({7^{30}}\) và \({4^{40}}.\)

Lời giải:

a) Ta có: \({(\sqrt 3 )^{ – \frac{5}{6}}} = {\left( {{3^{\frac{1}{2}}}} \right)^{ – \frac{5}{6}}} = {3^{ – \frac{5}{{12}}}}\) và \(\sqrt[3]{{{3^{ – 1}}.\sqrt[4]{{\frac{1}{3}}}}} = {\left( {{3^{ – 1}}{{.3}^{ – \frac{1}{4}}}} \right)^{\frac{1}{3}}}\) \( = {3^{ – \frac{5}{{12}}}}.\)

Vậy \({(\sqrt 3 )^{ – \frac{5}{6}}} = \sqrt[3]{{{3^{ – 1}}.\sqrt[4]{{\frac{1}{3}}}}}.\)

b) \({\left( {{3^6}} \right)^{100}} = {729^{100}}\) và \({\left( {{5^4}} \right)^{100}} = {(625)^{100}}\) \( \Rightarrow {3^{600}} /> {5^{400}}.\)

c) \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ – \frac{5}{7}}} = {\left[ {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{ – 1}}} \right]^{\frac{5}{7}}} = {2^{\frac{5}{7}}}\) và \(\sqrt 2 {.2^{\frac{3}{{14}}}} = {2^{\frac{1}{2}}}{.2^{\frac{3}{{14}}}}\) \( = {2^{\frac{1}{2} + \frac{3}{{14}}}} = {2^{\frac{5}{7}}}.\)

Vậy \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ – \frac{5}{7}}} = \sqrt 2 {.2^{\frac{3}{{14}}}}.\)

d) \({7^{30}} = {\left( {{7^3}} \right)^{10}} = {343^{10}}.\)

\({4^{40}} = {\left( {{4^4}} \right)^{10}} = {256^{10}}.\)

Vì: \(343 /> 256 /> 0\) nên: \({343^{10}} /> {256^{10}}\) \( \Rightarrow {7^{30}} /> {4^{40}}.\)