giải bài tập sgk giải tích 12 nâng cao: ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng

Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao: Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng.

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 26. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sin x + 1\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\) và \(x = \frac{{7\pi }}{6}.\)

Lời giải:

Ta thấy \(\sin x + 1 \ge 0\), \(\forall x \in \left( {0;\frac{{7\pi }}{6}} \right)\) nên diện tích \(S\) cần tìm bằng:

\(S = \int_0^{\frac{{7\pi }}{6}} | \sin x + 1|dx\) \( = \int_0^{\frac{{7\pi }}{6}} {(\sin x + 1)dx} \) \( = \left. {( – \cos x + x)} \right|_0^{\frac{{7\pi }}{6}}.\)

\( = \left( { – \cos \frac{{7\pi }}{6} + \frac{{7\pi }}{6}} \right)\) \( – ( – \cos 0 + 0)\) \( = \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{7\pi }}{6} + 1.\)

Bài 27. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

a) Đồ thị hàm số \(y = {\cos ^2}x\), trục hoành, trục tung và đường thẳng \(x = \pi .\)

b) Đồ thị hai hàm số \(y = \sqrt x \) và \(y = \sqrt[3]{x}.\)

c) Đồ thị hai hàm số \(y = 2{x^2}\) và \(y = {x^4} – 2{x^2}\) trong miền \(x /> 0.\)

Lời giải:

a) Diện tích \(S\) cần tìm:

\(S = \int_0^\pi {{{\cos }^2}} xdx\) \( = \int_0^\pi {\frac{{1 + \cos 2x}}{2}dx} \) \( = \left. {\frac{1}{2}x} \right|_0^\pi + \left. {\frac{{\sin 2x}}{4}} \right|_0^\pi \) \( = \frac{\pi }{2}.\)

b) Hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số \(y = \sqrt x \) và \(y = \sqrt[3]{x}\) là nghiệm của phương trình:

\(\sqrt x = \sqrt[3]{x}\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{{x^3} = {x^2}}\\

{x \ge 0}

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 0}\\

{x = 1}

\end{array}} \right..\)

Diện tích cần tìm \(S = \int_0^1 | \sqrt x – \sqrt[3]{x}|dx\) \( = \int_0^1 {(\sqrt[3]{x} – \sqrt x )dx} .\)

\( = \int_0^1 {\left( {{x^{\frac{1}{3}}} – {x^{\frac{1}{2}}}} \right)dx} \) \( = \left. {\left( {\frac{{{x^{\frac{4}{3}}}}}{{\frac{4}{3}}} – \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}}} \right)} \right|_0^1\) \( = \frac{3}{4} – \frac{2}{3} = \frac{1}{{12}}.\)

c) Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hai hàm số: \(y = 2{x^2}\) và \(y = {x^4} – 2{x^2}\) (với \(x /> 0\)).

\(2{x^2} = {x^4} – 2{x^2}\) \( \Leftrightarrow {x^4} – 4{x^2} = 0\) \( \Leftrightarrow {x^2}\left( {{x^2} – 4} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 0}\\

{x = 2}

\end{array}} \right..\)

Vậy diện tích cần tìm \(S = \int_0^2 {\left| {{x^4} – 2{x^2} – 2{x^2}} \right|dx} \) \( = \int_0^2 {\left| {{x^4} – 4{x^2}} \right|dx} .\)

\( = \int_0^2 {{x^2}} \left| {{x^2} – 4} \right|dx\) \( = \int_0^2 {{x^2}} \left( {4 – {x^2}} \right)dx\) \( = \int_0^2 {\left( {4{x^2} – {x^4}} \right)dx} .\)

\( = \left. {\left( {\frac{{4{x^3}}}{3} – \frac{{{x^5}}}{5}} \right)} \right|_0^2\) \( = \frac{{32}}{3} – \frac{{32}}{5} = \frac{{64}}{{15}}.\)

Bài 28. Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi:

a) Đồ thị các hàm số \(y = {x^2} – 4\), \(y = – {x^2} – 2x\) và hai đường thẳng \(x = – 3\), \(x = – 2.\)

b) Đồ thị hai hàm số \(y = {x^2} – 4\) và \(y = – {x^2} – 2x.\)

c) Đồ thị hàm số \(y = {x^3} – 4x\), trục hoành, đường thẳng \(x = -2\) và đường thẳng \(x = 4.\)

Lời giải:

a) Dựa vào hình vẽ ta thấy diện tích hình phẳng cần tìm là:

\(S = \int_{ – 3}^2 {\left| {\left( {{x^2} – 4} \right) – \left( { – {x^2} – 2x} \right)} \right|dx} .\)

\( = \int_{ – 3}^{ – 2} {\left[ {\left( {{x^2} – 4} \right) – \left( { – {x^2} – 2x} \right)} \right]dx.} \)

\( = \int_{ – 3}^2 {\left( {2{x^2} + 2x – 4} \right)dx} .\)

\( = \left. {\left( {2\frac{{{x^3}}}{3} + 2\frac{{{x^2}}}{2} – 4x} \right)} \right|_{ – 3}^{ – 2}\) \( = \frac{{11}}{3}.\)

Chú ý: Ở câu này, nếu không vẽ hình thì phải chứng tỏ được rằng \(\forall x \in [ – 3; – 2]\) thì \(\left( {{x^2} – 4} \right) – \left( { – {x^2} – 2x} \right) \ge 0\) để phá được dấu giá trị tuyệt đối.

b) Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hai hàm số đã cho là:

\({x^2} – 4 = – {x^2} – 2x\) \( \Leftrightarrow {x^2} + x – 2 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 1}\\

{x = – 2}

\end{array}} \right..\)

Dựa vào hình vẽ ở câu a ta có:

\(S = \int_{ – 2}^1 {\left| {\left( {{x^2} – 4} \right) – ( – {x^2} – 2x)} \right|dx} \) \( = \int_{ – 2}^1 {\left[ { – \left( {2{x^2} + 2x – 4} \right)} \right]dx} .\)

\( = \left. {\left( { – 2\frac{{{x^3}}}{3} – 2\frac{{{x^2}}}{2} + 4x} \right)} \right|_{ – 2}^1 = 9.\)

c) Diện tích cần tìm \(S = \int_{ – 2}^4 {\left| {{x^3} – 4x} \right|dx} .\)

Ta có: \({x^3} – 4x = x\left( {{x^2} – 4} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 0}\\

{x = \pm 2}

\end{array}} \right..\)

Bảng xét dấu:

Vậy \(S = \int_{ – 2}^0 {\left( {x_ – ^3 – 4x} \right)dx} \) \( + \int_0^2 {\left[ { – \left( {{x^3} – 4x} \right)} \right]dx} \) \( + \int_2^4 {\left( {{x^3} – 4x} \right)dx} .\)

\( = \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} – 4\frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_{ – 2}^0\) \( + \left. {\left( {\frac{{ – {x^4}}}{4} + \frac{{4{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^2\) \( + \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} – 4\frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_2^4 = 44.\)