tìm hệ số của số hạng chứa ${x^h}$ trong khai triển nhiều hạng tử

Bài viết hướng dẫn phương pháp giải bài toán tìm hệ số của số hạng chứa \({x^h}\) trong khai triển nhiều hạng tử (ba hạng tử, bốn hạng tử …), đây là dạng toán thường gặp trong chương trình Đại số và Giải tích 11: Tổ hợp và Xác suất.

Bài 1: Tìm hệ số của \({x^6}\) trong khai triển \({\left[ {1 + {x^2}(1 + x)} \right]^7}.\)

Lời giải:

Ta có: \({\left[ {1 + {x^2}(1 + x)} \right]^7}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} {x^{2k}}{(1 + x)^k}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} {\left( {{x^2} + {x^3}} \right)^k}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^7 {\sum\limits_{h = 0}^k {C_7^k} } C_k^h{x^{2k + h}}.\)

Số hạng tổng quát trong khai triển là: \(C_7^kC_k^h{x^{2k + h}}.\)

Để có hệ số của số hạng chứa \({x^6}\) chọn \(k\), \(h\) thỏa mãn: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{2k + h = 6}\\

{h \le k}\\

{k = \overline {0..7} }

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{h = 0}\\

{k = 3}

\end{array}} \right.}\\

{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{h = 2}\\

{k = 2}

\end{array}} \right.}

\end{array}} \right..\)

Vậy hệ số của số hạng chứa \({x^6}\) là: \(C_7^3C_3^0 + C_7^2C_2^2 = 56.\)

Bài 2: Tìm hệ số của \({x^4}\) trong khai triển \({\left( {1 + 2x + 3{x^2}} \right)^{10}}.\)

Lời giải:

Ta có: \({\left( {1 + 2x + 3{x^2}} \right)^{10}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {\left( {2x + 3{x^2}} \right)^k}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} \sum\limits_{h = 0}^k {C_k^h} {(2x)^{k – h}}{\left( {3{x^2}} \right)^h}.\)

\( = \sum\limits_{k = 0}^{10} {\sum\limits_{h = 0}^k {C_{10}^k} } C_k^h{2^{k – h}}{3^h}{x^{k + h}}.\)

Số hạng tổng quát trong khai triển là \(C_{10}^kC_k^h{2^{k – h}}{3^h}{x^{k + h}}.\)

Để có hệ số của số hạng chứa \({x^4}\) chọn \(k\), \(h\) thỏa mãn: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{k + h = 4}\\

{h \le k}\\

{k = \overline {0..10} }

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow (k;h) \in \{ (4;0);(3;1);(2;2)\} .\)

Vậy hệ số của số hạng chứa \({x^4}\) trong khai triển là:

\(C_{10}^4C_4^0{2^4} + C_{10}^3C_3^1{2^2}.3 + C_{10}^2C_2^2{3^2} = 8085.\)

Cách khác:

Ta có: \({\left( {1 + 2x + 3{x^2}} \right)^{10}}\) \( = {[1 + x(2 + 3x)]^{10}}\) \( = C_{10}^0\) \( + C_{10}^1x(2 + 3x)\) \( + C_{10}^2{x^2}{(2 + 3x)^2}\) \( + C_{10}^3{x^3}{(2 + 3x)^3}\) \( + C_{10}^4{x^4}{(2 + 3x)^4}\) \( + C_{10}^5{x^5}{(2 + 3x)^5}\) \( + \ldots + C_{10}^{10}{x^{10}}{(2 + 3x)^{10}}.\)

Ta nhận thấy rằng số mũ của \(x\) trong khai triển tăng dần, và \({x^4}\) chỉ chứa trong số hạng thứ \(2\), thứ \(3\), thứ \(4\) trong khai triển trên.

Từ đó ta phân tích các khai triển: \(C_{10}^2{x^2}{(2 + 3x)^2}\) \( = C_{10}^2C_2^0{2^2}{x^2}\) \( + C_{10}^2C_2^12.3{x^3}\) \( + C_{10}^2C_2^2{3^2}{x^4}.\)

\(C_{10}^3{x^3}{(2 + 3x)^3}\) \( = C_{10}^3C_3^0{2^3}{x^3}\) \( + C_{10}^3C_3^1{2^2}.3{x^4}\) \( + C_{10}^3C_3^2{2.3^2}{x^5}\) \( + C_{10}^3C_3^3{3^3}{x^6}.\)

\(C_{10}^4{x^4}{(2 + 3x)^4}\) \( = C_{10}^4C_4^0{2^4}{x^4}\) \( + C_{10}^4C_4^1{2^3}.3{x^5}\) \( + \ldots + C_{10}^4C_4^4{3^4}{x^8}.\)

Vậy hệ số của số hạng chứa \({x^4}\) trong khai triển là:

\(C_{10}^4C_4^0{2^4}\) \( + C_{10}^3C_3^1{2^2}.3\) \( + C_{10}^2C_2^2{3^2}\) \( = 8085.\)

Bài 3: Tìm số hạng không chứa \(x\) trong khai triển: \({\left( {1 + 2x – \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^9}.\)

Lời giải:

Ta có: \({\left( {1 + 2x – \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^9}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k} {\left( {2x – \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^k}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k} \sum\limits_{h = 0}^k {C_k^h} {(2x)^{k – h}}{\left( { – \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^h}.\)

\( = \sum\limits_{k = 0}^9 {\sum\limits_{h = 0}^k {C_9^k} } C_k^h{(2)^{k – h}}{( – 1)^h}{x^{k – 3h}}.\)

Số hạng tổng quát trong khai triển là: \(C_9^kC_k^h{(2)^{k – h}}{( – 1)^h}{x^{k – 3h}}.\)

Để có số hạng không chứa \(x\), ta chọn \(k\), \(h\) thỏa mãn:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{k – 3h = 0}\\

{h \le k}\\

{k = \overline {0..9} }

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow (k;h) \in \{ (3;1);(6;2);(9;3)\} .\)

Vậy số hạng không chứa \(x\) trong khai triển là: \(C_9^3C_3^1{(2)^2}{( – 1)^1}\) \( + C_9^6C_6^2{(2)^4}{( – 1)^2}\) \( + C_9^9C_9^3{(2)^6}{( – 1)^3}\) \( = 14122.\)

Bài 4: Tìm số hạng chứa \(\frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}\) trong khai triển \({\left( {1 – 2\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}} \right)^7}.\)

Lời giải:

Ta có: \({\left( {1 – 2\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}} \right)^7}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} {\left( { – 2\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}} \right)^k}.\)

\( = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} \sum\limits_{h = 0}^k {C_k^h} {\left( { – 2{x^{\frac{1}{2}}}} \right)^{k – h}}{\left( {{x^{ – \frac{2}{3}}}} \right)^h}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^7 {\sum\limits_{h = 0}^k {C_7^k} } C_k^h{( – 2)^{k – h}}{x^{\frac{{3k – 7h}}{6}}}.\)

Số hạng tổng quát trong khai triển là: \(C_7^kC_k^h{( – 2)^{k – h}}{x^{\frac{{3k – 7h}}{6}}}.\)

Để có số hạng chứa \(\frac{1}{{\sqrt[3]{x}}} = {x^{ – \frac{1}{3}}}\), ta chọn \(k\), \(h\) thỏa mãn:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\frac{{3k – 7h}}{6} = – \frac{1}{3}}\\

{h \le k}\\

{k = \overline {0..7} }

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{3k – 7h = – 2}\\

{h \le k}\\

{k = \overline {0..7} }

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{k = 4}\\

{h = 2}

\end{array}} \right..\)

Vậy số hạng chứa \(\frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}\) trong khai triển là: \(C_7^4C_4^2{( – 2)^2}{x^{\frac{{ – 1}}{3}}} = \frac{{840}}{{\sqrt[3]{x}}}.\)

Bài 5: Khai triển \(f(x) = {\left( {1 + x + {x^2} + {x^3}} \right)^5}\) và viết lại dưới dạng: \(f(x) = {a_0} + {a_1}x + \ldots + {a_{15}}{x^{15}}.\) Tính \({a_9}.\)

Lời giải:

Ta có: \(f(x) = {\left( {1 + x + {x^2} + {x^3}} \right)^5}\) \( = {(1 + x)^5}{\left( {1 + {x^3}} \right)^5}.\)

\( = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k} {x^k}.\sum\limits_{l = 0}^5 {C_5^l} {\left( {{x^3}} \right)^l}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^5 {\sum\limits_{l = 0}^5 {C_5^k} } C_5^l{x^{k + 3l}}.\)

Số hạng tổng quát trong khai triển là: \(C_5^kC_5^l{x^{k + 3l}}.\)

Nhận thấy \({a_9}\) chính là hệ số của số hạng chứa \({x^9}\) trong khai triển, vì vậy chọn \(k\), \(l\) thỏa mãn: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{k + 3l = 9}\\

{k,l = \overline {0..5} }

\end{array}} \right..\)

Suy ra: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{l = \frac{{9 – k}}{3}}\\

{k,l = \overline {0..5} }

\end{array}} \right.\), do đó: \(k \vdots 3\) \( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{k = 0 \Rightarrow l = 3}\\

{k = 3 \Rightarrow l = 2}

\end{array}} \right..\)

Vậy có hai cặp số \((k,l)\) thỏa mãn.

Suy ra hệ số của số hạng chứa \({x^9}\) trong khai triển là: \(C_5^3C_5^2 + C_5^0C_5^3 = 110.\)

Bài 6: Giả sử \({\left( {1 + x + {x^2} + {x^3}} \right)^5}\) có khai triển thành đa thức: \({a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + \ldots + {a_{15}}{x^{15}}.\) Tính \({a_0} – {a_1} + {a_2} – {a_3} + \ldots – {a_{15}}.\)

Lời giải:

Ta có: \({\left( {1 + x + {x^2} + {x^3}} \right)^5}\) \( = {\left[ {(1 + x)\left( {1 + {x^2}} \right)} \right]^5}\) \( = {(1 + x)^5}{\left( {1 + {x^2}} \right)^5}.\)

\( = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k} {x^k}\sum\limits_{h = 0}^5 {C_5^h} {x^{2h}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^5 {\sum\limits_{h = 0}^5 {C_5^k} } C_5^h{x^{k + 2h}}.\)

Chọn \(x = -1\), ta được:

\({a_0} – {a_1} + {a_2} – {a_3} + \ldots – {a_{15}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^5 {\sum\limits_{h = 0}^5 {C_5^k} } C_5^h{( – 1)^{k + 2h}}\) \( = \left( {1 – 1 + {1^2} + {{( – 1)}^3}} \right) = 0.\)

Vậy \({a_0} – {a_1} + {a_2} – {a_3} + \ldots – {a_{15}} = 0.\)

Bài 7: Trong khai triển \({(x + y + z)^n}\), tìm số hạng chứa \({x^k}{y^m}{z^{n – k – m}}\) \((k,m < n).\)

Lời giải:

Ta có: \({(x + y + z)^n}\) \( = {[(y + z) + x]^n}\) \( = C_n^0{(y + z)^n}\) \( + C_n^1x{(y + z)^{n – 1}}\) \( + C_n^2{x^2}{(y + z)^{n – 2}}\) \( + \ldots + C_n^k{x^k}{(y + z)^{n – k}}\) \( + \ldots + C_n^n{x^n}.\)

Do đó số hạng chứa \({x^k}{y^m}{z^{n – k – m}}\) nằm trong khai triển \(C_n^k{x^k}{(y + z)^{n – k}}.\)

Mặt khác ta có: \({(y + z)^{n – k}}\) \( = C_{n – k}^0{z^{n – k}}\) \( + C_{n – k}^1y{z^{n – k – 1}}\) \( + C_{n – k}^2{y^2}{z^{n – k – 2}}\) \( + \ldots + C_{n – k}^m{y^m}{z^{n – k – m}}\) \( + \ldots + C_{n – k}^{n – k}{y^{n – k}}.\)

Do đó số hạng chứa \({x^k}{y^m}{z^{n – k – m}}\) trong khai triển là: \(C_n^kC_{n – k}^m{x^k}{y^m}{z^{n – k – m}}.\)

Bài 8: Trong khai triển \({\left( {2{x^3} + 2{x^2} + x + 1} \right)^{10}}\), tìm số hạng chứa \({x^5}.\)

Lời giải:

Ta có: \({\left( {2{x^3} + 2{x^2} + x + 1} \right)^{10}}\) \( = {\left[ {(1 + x)\left( {1 + 2{x^2}} \right)} \right]^{10}}\) \( = {(1 + x)^{10}}{\left( {1 + 2{x^2}} \right)^{10}}.\)

\( = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^k}\sum\limits_{h = 0}^{10} {C_{10}^h} {2^{2h}}{x^{2h}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{10} {\sum\limits_{h = 0}^{10} {C_{10}^k} } C_{10}^h{2^{2h}}{x^{k + 2h}}.\)

Số hạng tổng quát trong khai triển là: \(C_{10}^kC_{10}^h{2^{2h}}{x^{k + 2h}}.\)

Để có số hạng chứa \({x^5}\), ta chọn \(k\), \(h\) sao cho:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{k + 2h = 5}\\

{h,k = \overline {0..10} }

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow (k;h) \in \{ (1;2);(3;1)\} .\)

Vậy số hạng chứa \({x^5}\) trong khai triển là: \(C_{10}^1C_{10}^2{2^4}{x^5} + C_{10}^3C_{10}^1{2^2}{x^5}\) \( = 12000{x^5}.\)