Bài 1. Dấu của tam thức bậc hai

Bài 1 trong chương VII của sách Toán 10 tập 2, Chân trời sáng tạo, tập trung vào việc xác định dấu của tam thức bậc hai. Đây là một khái niệm quan trọng trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến bất phương trình bậc hai một ẩn. Để hiểu rõ hơn về chủ đề này, chúng ta sẽ cùng nhau khám phá các nội dung sau:

1. Định nghĩa tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai là một biểu thức đại số có dạng f(x) = ax² + bx + c, trong đó a, b, và c là các số thực, và a ≠ 0. Dấu của tam thức bậc hai phụ thuộc vào dấu của hệ số a và biệt thức Δ = b² - 4ac.

2. Điều kiện xác định dấu của tam thức bậc hai

Để xác định dấu của tam thức bậc hai, chúng ta cần xét các trường hợp sau:

• Trường hợp 1: a > 0
• Nếu Δ < 0: Tam thức f(x) luôn dương với mọi x.
• Nếu Δ = 0: Tam thức f(x) luôn dương hoặc bằng 0 với mọi x.
• Nếu Δ > 0: Tam thức f(x) đổi dấu qua hai nghiệm x₁ và x₂ (x₁ < x₂). f(x) < 0 khi x₁ < x < x₂ và f(x) > 0 khi x < x₁ hoặc x > x₂.
• Trường hợp 2: a < 0
• Nếu Δ < 0: Tam thức f(x) luôn âm với mọi x.
• Nếu Δ = 0: Tam thức f(x) luôn âm hoặc bằng 0 với mọi x.
• Nếu Δ > 0: Tam thức f(x) đổi dấu qua hai nghiệm x₁ và x₂ (x₁ < x₂). f(x) > 0 khi x₁ < x < x₂ và f(x) < 0 khi x < x₁ hoặc x > x₂.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xét tam thức f(x) = 2x² - 5x + 2. Ta có a = 2 > 0 và Δ = (-5)² - 4(2)(2) = 25 - 16 = 9 > 0. Vậy tam thức f(x) đổi dấu qua hai nghiệm x₁ = 1/2 và x₂ = 2. f(x) < 0 khi 1/2 < x < 2 và f(x) > 0 khi x < 1/2 hoặc x > 2.

Ví dụ 2: Xét tam thức f(x) = -x² + 4x - 4. Ta có a = -1 < 0 và Δ = 4² - 4(-1)(-4) = 16 - 16 = 0. Vậy tam thức f(x) luôn âm hoặc bằng 0 với mọi x. Nghiệm của tam thức là x = 2.

4. Bài tập vận dụng

Bài 1: Xác định dấu của tam thức f(x) = x² - 3x + 2.

Bài 2: Xác định dấu của tam thức f(x) = -2x² + x + 1.

Bài 3: Tìm các giá trị của x sao cho f(x) > 0, với f(x) = 3x² - 7x + 4.

5. Mở rộng và liên hệ thực tế

Việc hiểu rõ về dấu của tam thức bậc hai có ứng dụng quan trọng trong nhiều lĩnh vực, như vật lý (ví dụ, quỹ đạo của vật ném), kinh tế (ví dụ, lợi nhuận của doanh nghiệp), và kỹ thuật (ví dụ, thiết kế các cấu trúc). Nắm vững kiến thức này sẽ giúp các em giải quyết các bài toán thực tế một cách hiệu quả hơn.

6. Kết luận

Bài 1. Dấu của tam thức bậc hai là một bài học cơ bản nhưng vô cùng quan trọng trong chương trình Toán 10. Hy vọng rằng, với những kiến thức và ví dụ minh họa trên, các em đã hiểu rõ hơn về chủ đề này và có thể tự tin giải quyết các bài tập liên quan. Chúc các em học tập tốt!