Trong chương trình Toán 10 Chân trời sáng tạo, việc nắm vững lý thuyết Dấu của tam thức bậc hai là vô cùng quan trọng. Nó không chỉ giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan đến bất phương trình bậc hai mà còn là nền tảng cho các kiến thức nâng cao hơn trong chương trình học.
loigiai.com.vn cung cấp bài giảng chi tiết, dễ hiểu cùng với các bài tập có đáp án, giúp bạn tự tin chinh phục kiến thức này.
A. Lý thuyết 1. Tam thức bậc hai
A. Lý thuyết
1. Tam thức bậc hai
| Đa thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c\) với a, b, c là các hệ số, \(a \ne 0\) và x là biến số được gọi là tam thức bậc hai. |
Khi thay x bằng giá trị \({x_0}\) vào f(x), ta được \(f({x_0}) = a{x_0}^2 + b{x_0} + c\), gọi là giá trị của tam thức bậc hai.
- Nếu \(f({x_0}) > 0\) thì ta nói \(f({x_0})\) dương tại \({x_0}\).
- Nếu \(f({x_0}) < 0\) thì ta nói \(f({x_0})\) âm tại \({x_0}\).
- Nếu f(x) dương (âm) tại mọi điểm x thuộc một khoảng hoặc một đoạn thì ta nói f(x) dương (âm) trên khoảng hoặc đoạn đó.
Cho tam thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c\) \((a \ne 0)\). Khi đó: - Nghiệm của phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) là nghiệm của f(x). - Biểu thức \(\Delta = {b^2} - 4ac\) và \(\Delta ' = {\left( {\frac{b}{2}} \right)^2} - ac\) lần lượt là biệt thức và biệt thức thu gọn của f(x). |
2. Định lí về dấu của tam thức bậc hai
Mối quan hệ giữa dấu của tam thức bậc hai với dấu của hệ số a trong từng trường hợp của được phát biểu trong định lí về dấu của tam thức bậc hai sau đây:
Cho tam thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c\) \((a \ne 0)\). - Nếu \(\Delta < 0\) thì f(x) cùng dấu với hệ số a \(\forall x \in \mathbb{R}\). - Nếu \(\Delta = 0\) và \({x_0} = - \frac{b}{{2a}}\) là nghiệm kép của f(x) thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi \(x \ne {x_0}\). - Nếu \(\Delta > 0\) thì tam thức f(x) có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\) và \({x_2}\) \(({x_1} < {x_2})\). Khi đó: + f(x) cùng dấu với hệ số a \(\forall x \in ( - \infty ;{x_1}) \cup ({x_2}; + \infty )\). + f(x) trái dấu với hệ số a \(\forall x \in ({x_1};{x_2})\). |
Chú ý: Để xét dấu tam thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c\)\((a \ne 0)\), ta thực hiện các bước sau:
B1: Tính và xét dấu của biệt thức \(\Delta \).
B2: Xác định nghiệm của f(x) (nếu có).
B3: Xác định dấu của hệ số a.
B4: Xác định dấu của f(x).
B. Bài tập
Bài 1: Hãy cho biết biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai? Nếu là tam thức bậc hai, hãy xét dấu của nó tại x = 2.
A. \(3x + 2\sqrt x + 1\)
B. \( - 5{x^4} + 3{x^2} + 4\)
C. \( - \frac{2}{3}{x^2} + 7x - 4\)
D. \({\left( {\frac{1}{x}} \right)^2} + 2\frac{1}{x} + 3\)
Giải:
\( - \frac{2}{3}{x^2} + 7x - 4\) là tam thức bậc hai với \(a = - \frac{2}{3},b = 7,c = - 4\).
\(f(2) = - \frac{2}{3}{.2^2} + 7.2 - 4 = \frac{{22}}{3} > 0\) nên f(x) dương tại x = 2.
Bài 2: Xét dấu các tam thức bậc hai sau đây:
a) \({x^2} + x + 1\).
b) \( - \frac{3}{2}{x^2} + 9x - \frac{{27}}{2}\).
c) \(2{x^2} + 6x - 8\).
Giải:
a) \(f(x) = {x^2} + x + 1\) có \(\Delta = - 3 < 0\) và \(a = 1 > 0\) nên f(x) > 0 với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
b) \(f(x) = - \frac{3}{2}{x^2} + 9x - \frac{{27}}{2}\) có \(\Delta = 0\) và \(a = - \frac{3}{2} < 0\) nên f(x) có nghiệm kép x = 3 và f(x) < 0 với mọi \(x \ne 3\).
c) Dễ thấy \(f(x) = 2{x^2} + 6x - 8\) có \(\Delta ' = 25 > 0\), a = 2 > 0 và có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = - 4\), \({x_2} = 1\). Do đó ta có bảng xét dấu:
Suy ra f(x) > 0 với mọi \(x \in ( - \infty ; - 4) \cup (1; + \infty )\) và f(x) < 0 với mọi \(x \in ( - 4;1)\).
Tam thức bậc hai là một biểu thức toán học quan trọng trong chương trình Toán 10, đặc biệt là trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến bất phương trình bậc hai. Việc hiểu rõ về dấu của tam thức bậc hai sẽ giúp học sinh dễ dàng xác định nghiệm của bất phương trình và tìm ra tập nghiệm đúng.
Tam thức bậc hai là một biểu thức có dạng f(x) = ax2 + bx + c, trong đó a, b, và c là các hệ số thực và a ≠ 0.
Nghiệm của tam thức bậc hai là các giá trị của x sao cho f(x) = 0. Để tìm nghiệm, ta giải phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 bằng công thức nghiệm hoặc phân tích thành nhân tử.
Dấu của tam thức bậc hai phụ thuộc vào hệ số a và biệt thức Δ = b2 - 4ac.
Xét tam thức f(x) = 2x2 - 5x + 2. Ta có a = 2, b = -5, và c = 2. Biệt thức Δ = (-5)2 - 4(2)(2) = 25 - 16 = 9 > 0. Vậy tam thức có hai nghiệm phân biệt.
Giải phương trình 2x2 - 5x + 2 = 0, ta được x1 = 1/2 và x2 = 2.
Vì a = 2 > 0, nên:
Lý thuyết này được ứng dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán sau:
Để củng cố kiến thức, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:
Hy vọng với những kiến thức và ví dụ trên, bạn đã hiểu rõ hơn về lý thuyết Dấu của tam thức bậc hai trong chương trình Toán 10 Chân trời sáng tạo. Chúc bạn học tập tốt!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
