Bài 2. Biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức và áp dụng

Bài 2. Biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức và áp dụng - Toán 12 Kết nối tri thức

Trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức, chuyên đề về biến ngẫu nhiên rời rạc đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng nền tảng lý thuyết và kỹ năng giải quyết các bài toán thực tế. Bài 2 tập trung vào phân bố nhị thức, một trong những phân bố rời rạc quan trọng nhất, được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực.

I. Khái niệm biến ngẫu nhiên và phân bố nhị thức

1. Biến ngẫu nhiên rời rạc: Biến ngẫu nhiên rời rạc là biến ngẫu nhiên chỉ nhận một số hữu hạn các giá trị hoặc vô hạn nhưng đếm được. Mỗi giá trị của biến ngẫu nhiên được gán một xác suất tương ứng.

2. Phân bố nhị thức: Phân bố nhị thức mô tả số lần thành công trong một chuỗi n thử nghiệm độc lập, mỗi thử nghiệm chỉ có hai kết quả: thành công hoặc thất bại. Xác suất thành công trong mỗi thử nghiệm là không đổi, ký hiệu là p.

Một biến ngẫu nhiên X tuân theo phân bố nhị thức B(n, p) nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:

• Số lượng thử nghiệm n là cố định.
• Các thử nghiệm độc lập với nhau.
• Xác suất thành công p trong mỗi thử nghiệm là không đổi.

Xác suất để biến ngẫu nhiên X nhận giá trị k (tức là có k lần thành công trong n thử nghiệm) được tính theo công thức:

P(X = k) = C_n^k * p^k * (1 - p)^n-k

Trong đó:

• C_n^k là tổ hợp chập k của n.
• p là xác suất thành công trong mỗi thử nghiệm.
• (1 - p) là xác suất thất bại trong mỗi thử nghiệm.

II. Các số đặc trưng của phân bố nhị thức

1. Kỳ vọng (E(X)): Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên tuân theo phân bố nhị thức B(n, p) là:

E(X) = n * p

Kỳ vọng cho biết giá trị trung bình của số lần thành công trong n thử nghiệm.

2. Phương sai (Var(X)): Phương sai của biến ngẫu nhiên tuân theo phân bố nhị thức B(n, p) là:

Var(X) = n * p * (1 - p)

Phương sai cho biết mức độ phân tán của các giá trị của biến ngẫu nhiên xung quanh kỳ vọng.

3. Độ lệch chuẩn (σ(X)): Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai:

σ(X) = √(n * p * (1 - p))

Độ lệch chuẩn cho biết mức độ biến động của các giá trị của biến ngẫu nhiên.

III. Ứng dụng của phân bố nhị thức

Phân bố nhị thức được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau, ví dụ:

• Kiểm định chất lượng sản phẩm: Xác suất một lô hàng có bao nhiêu sản phẩm bị lỗi.
• Nghiên cứu y học: Xác suất một bệnh nhân khỏi bệnh sau khi điều trị.
• Khảo sát ý kiến: Xác suất một người đồng ý với một quan điểm nào đó.
• Thống kê dân số: Xác suất một người có một đặc điểm nào đó.

IV. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Gieo một đồng xu 10 lần. Tính xác suất được 6 mặt ngửa.

Giải:

Đây là một bài toán về phân bố nhị thức với n = 10, p = 0.5 (xác suất xuất hiện mặt ngửa).

P(X = 6) = C₁₀⁶ * (0.5)⁶ * (0.5)⁴ = 210 * (0.5)¹⁰ ≈ 0.205

Ví dụ 2: Một hộp chứa 20 sản phẩm, trong đó có 5 sản phẩm bị lỗi. Lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm từ hộp. Tính xác suất có ít nhất 1 sản phẩm bị lỗi.

Giải:

Gọi X là số sản phẩm bị lỗi trong 3 sản phẩm được lấy ra. X tuân theo phân bố nhị thức B(3, 5/20 = 0.25).

P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - C₃⁰ * (0.25)⁰ * (0.75)³ = 1 - (0.75)³ ≈ 0.422

V. Kết luận

Bài 2 đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản về biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức và các ứng dụng của nó. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp các em giải quyết các bài toán thực tế một cách hiệu quả. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình.