Bài 2. Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Bài 2: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes - SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo

Bài 2 trong sách bài tập Toán 12 Chân trời sáng tạo tập trung vào hai công thức quan trọng trong lý thuyết xác suất: công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. Đây là những công cụ mạnh mẽ để giải quyết các bài toán xác suất phức tạp, đặc biệt là trong các tình huống có nhiều khả năng xảy ra.

1. Công thức xác suất toàn phần

Công thức xác suất toàn phần được sử dụng để tính xác suất của một biến cố khi biến cố đó có thể xảy ra thông qua một số các biến cố khác, đôi một loại trừ nhau. Công thức được biểu diễn như sau:

P(A) = P(B₁)P(A|B₁) + P(B₂)P(A|B₂) + ... + P(B_n)P(A|B_n)

Trong đó:

• P(A) là xác suất của biến cố A.
• B₁, B₂, ..., B_n là các biến cố đôi một loại trừ nhau và tổng xác suất của chúng bằng 1 (P(B₁) + P(B₂) + ... + P(B_n) = 1).
• P(A|B_i) là xác suất có điều kiện của biến cố A khi biết biến cố B_i đã xảy ra.

2. Công thức Bayes

Công thức Bayes cho phép chúng ta cập nhật xác suất của một giả thuyết dựa trên bằng chứng mới. Công thức được biểu diễn như sau:

P(B|A) = [P(A|B)P(B)] / P(A)

Trong đó:

• P(B|A) là xác suất hậu nghiệm của giả thuyết B khi biết bằng chứng A.
• P(A|B) là khả năng của bằng chứng A khi giả thuyết B đúng.
• P(B) là xác suất tiên nghiệm của giả thuyết B.
• P(A) là xác suất của bằng chứng A.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một nhà máy có hai dây chuyền sản xuất A và B. Dây chuyền A sản xuất 60% tổng số sản phẩm và tỷ lệ sản phẩm lỗi của dây chuyền A là 2%. Dây chuyền B sản xuất 40% tổng số sản phẩm và tỷ lệ sản phẩm lỗi của dây chuyền B là 3%. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm, xác suất để sản phẩm đó là lỗi là bao nhiêu?

Giải:

Gọi A là biến cố sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền A, B là biến cố sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền B, và L là biến cố sản phẩm là lỗi.

Ta có:

• P(A) = 0.6
• P(B) = 0.4
• P(L|A) = 0.02
• P(L|B) = 0.03

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

P(L) = P(A)P(L|A) + P(B)P(L|B) = (0.6)(0.02) + (0.4)(0.03) = 0.012 + 0.012 = 0.024

Vậy, xác suất để sản phẩm là lỗi là 2.4%.

Ví dụ 2: Một bệnh viện thực hiện xét nghiệm để chẩn đoán một bệnh. Xét nghiệm có độ chính xác 95%, nghĩa là nếu một người mắc bệnh, xét nghiệm sẽ cho kết quả dương tính với xác suất 95%, và nếu một người không mắc bệnh, xét nghiệm sẽ cho kết quả âm tính với xác suất 95%. Biết rằng 1% dân số mắc bệnh này. Nếu một người được xét nghiệm và kết quả dương tính, xác suất để người đó mắc bệnh là bao nhiêu?

Giải:

Gọi B là biến cố người mắc bệnh, và T là biến cố xét nghiệm cho kết quả dương tính.

Ta có:

• P(B) = 0.01
• P(¬B) = 0.99
• P(T|B) = 0.95
• P(¬T|¬B) = 0.95 => P(T|¬B) = 0.05

Áp dụng công thức Bayes, ta có:

P(B|T) = [P(T|B)P(B)] / P(T)

P(T) = P(T|B)P(B) + P(T|¬B)P(¬B) = (0.95)(0.01) + (0.05)(0.99) = 0.0095 + 0.0495 = 0.059

P(B|T) = (0.95 * 0.01) / 0.059 ≈ 0.161

Vậy, xác suất để người đó mắc bệnh là khoảng 16.1%.

4. Luyện tập và ứng dụng

Để nắm vững kiến thức về công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes, bạn nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Các bài tập này có thể được tìm thấy trong sách bài tập Toán 12 Chân trời sáng tạo, các trang web học toán online, hoặc các tài liệu tham khảo khác. Việc áp dụng các công thức này vào các bài toán thực tế sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về ứng dụng của chúng trong cuộc sống.