Bài 2. Giải bất phương trình bậc hai một ẩn

Bài 2. Giải bất phương trình bậc hai một ẩn - SGK Toán 10 - Chân trời sáng tạo

1. Giới thiệu chung về bất phương trình bậc hai một ẩn

Bất phương trình bậc hai một ẩn là bất phương trình có dạng ax² + bx + c > 0 (hoặc ax² + bx + c < 0, ax² + bx + c ≥ 0, ax² + bx + c ≤ 0), trong đó a, b, c là các số thực và a ≠ 0. Việc giải bất phương trình bậc hai một ẩn là tìm tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất phương trình.

2. Phương pháp giải bất phương trình bậc hai một ẩn

Có nhiều phương pháp để giải bất phương trình bậc hai một ẩn, trong đó phương pháp phổ biến nhất là sử dụng đồ thị của hàm số bậc hai y = ax² + bx + c.

a. Xác định các hệ số a, b, c

Bước đầu tiên là xác định chính xác các hệ số a, b, c của bất phương trình. Điều này rất quan trọng để xác định được hướng của parabol và các điểm đặc biệt của nó.

b. Tính delta (Δ)

Delta được tính theo công thức: Δ = b² - 4ac. Giá trị của delta quyết định số nghiệm của phương trình bậc hai tương ứng.

• Nếu Δ > 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂.
• Nếu Δ = 0: Phương trình có nghiệm kép x₁ = x₂.
• Nếu Δ < 0: Phương trình vô nghiệm.

c. Xét dấu tam thức bậc hai

Dựa vào dấu của a và delta, ta xét dấu của tam thức bậc hai ax² + bx + c trên các khoảng xác định bởi các nghiệm của phương trình bậc hai.

d. Kết luận nghiệm

Dựa vào kết quả xét dấu, ta kết luận tập nghiệm của bất phương trình. Ví dụ:

• Nếu ax² + bx + c > 0 và tam thức cùng dấu với a, thì nghiệm là x < x₁ hoặc x > x₂.
• Nếu ax² + bx + c < 0 và tam thức ngược dấu với a, thì nghiệm là x₁ < x < x₂.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải bất phương trình 2x² - 5x + 2 > 0

1. Xác định hệ số:a = 2, b = -5, c = 2
2. Tính delta:Δ = (-5)² - 4 * 2 * 2 = 9 > 0
3. Tìm nghiệm:x₁ = 2, x₂ = 1/2
4. Xét dấu: Vì a = 2 > 0, tam thức dương khi x < 1/2 hoặc x > 2.
5. Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là x < 1/2 hoặc x > 2.

Ví dụ 2: Giải bất phương trình -x² + 4x - 4 ≤ 0

1. Xác định hệ số:a = -1, b = 4, c = -4
2. Tính delta:Δ = 4² - 4 * (-1) * (-4) = 0
3. Tìm nghiệm:x₁ = x₂ = 2
4. Xét dấu: Vì a = -1 < 0, tam thức âm khi x ≠ 2.
5. Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là x ≤ 2 hoặc x ≥ 2, tức là x ∈ R.

4. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức, các em hãy tự giải các bài tập sau:

• Giải bất phương trình x² - 3x + 2 > 0
• Giải bất phương trình -2x² + x + 1 ≤ 0
• Giải bất phương trình 3x² + 5x - 2 < 0

Loigiai.com.vn hy vọng bài viết này đã giúp các em hiểu rõ hơn về cách giải bất phương trình bậc hai một ẩn. Chúc các em học tập tốt!