Bài 2. Phân bố Bernoulli. Phân bố nhị thức

Bài 2. Phân bố Bernoulli. Phân bố nhị thức - Toán 12 Cánh Diều

Bài 2 trong chương trình Toán 12 Cánh Diều Chuyên đề 1 tập trung vào hai phân bố quan trọng trong thống kê: phân bố Bernoulli và phân bố nhị thức. Việc nắm vững kiến thức về hai phân bố này là nền tảng để giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến xác suất và thống kê.

1. Phân bố Bernoulli

Phân bố Bernoulli mô tả xác suất thành công hoặc thất bại của một thử nghiệm duy nhất. Thử nghiệm này chỉ có hai kết quả có thể xảy ra: thành công (ký hiệu là 1) hoặc thất bại (ký hiệu là 0). Xác suất thành công được ký hiệu là p, và xác suất thất bại là 1 - p.

• Định nghĩa: Một biến ngẫu nhiên X tuân theo phân bố Bernoulli nếu nó chỉ nhận hai giá trị 0 hoặc 1 với xác suất tương ứng là P(X = 1) = p và P(X = 0) = 1 - p.
• Hàm phân phối xác suất:P(X = x) = p^x(1 - p)^1-x, với x = 0 hoặc 1.
• Các đặc trưng:
  • Giá trị kỳ vọng: E(X) = p
  • Phương sai: Var(X) = p(1 - p)

2. Phân bố nhị thức

Phân bố nhị thức mô tả số lần thành công trong một chuỗi n thử nghiệm độc lập, mỗi thử nghiệm có xác suất thành công là p. Đây là một mở rộng của phân bố Bernoulli.

• Định nghĩa: Một biến ngẫu nhiên X tuân theo phân bố nhị thức nếu nó biểu thị số lần thành công trong n thử nghiệm độc lập, mỗi thử nghiệm có xác suất thành công là p. Ký hiệu: X ~ B(n, p).
• Hàm phân phối xác suất:P(X = k) = C_n^k p^k (1 - p)^n-k, với k = 0, 1, 2, ..., n. (C_n^k là tổ hợp chập k của n).
• Các đặc trưng:
  • Giá trị kỳ vọng: E(X) = np
  • Phương sai: Var(X) = np(1 - p)

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 (Phân bố Bernoulli): Gieo một đồng xu một lần. Nếu mặt ngửa xuất hiện, ta coi đó là thành công (X = 1) với xác suất p = 0.5. Nếu mặt sấp xuất hiện, ta coi đó là thất bại (X = 0) với xác suất 1 - p = 0.5.

Ví dụ 2 (Phân bố nhị thức): Gieo một đồng xu 5 lần. X là số lần xuất hiện mặt ngửa. X tuân theo phân bố nhị thức B(5, 0.5). Xác suất để được đúng 3 mặt ngửa là: P(X = 3) = C₅³ (0.5)³ (0.5)² = 10 * 0.125 * 0.25 = 0.3125.

4. Ứng dụng của phân bố Bernoulli và nhị thức

Hai phân bố này có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

• Kiểm định chất lượng sản phẩm: Xác định tỷ lệ sản phẩm lỗi trong một lô hàng.
• Nghiên cứu y học: Đánh giá hiệu quả của một loại thuốc.
• Khảo sát ý kiến: Dự đoán kết quả của một cuộc bầu cử.
• Marketing: Đánh giá tỷ lệ chuyển đổi của một chiến dịch quảng cáo.

5. Bài tập vận dụng

Để củng cố kiến thức, các em hãy giải các bài tập sau:

1. Một hộp chứa 10 bóng đèn, trong đó có 3 bóng bị hỏng. Lấy ngẫu nhiên 2 bóng đèn từ hộp. Tính xác suất để lấy được 2 bóng đều hỏng.
2. Một người bắn súng vào bia. Xác suất bắn trúng bia của người đó là 0.8. Người đó bắn 5 phát. Tính xác suất để người đó bắn trúng bia ít nhất 4 phát.

Hy vọng bài học này đã giúp các em hiểu rõ hơn về phân bố Bernoulli và phân bố nhị thức. Chúc các em học tập tốt!