Bài 3. Dấu của tam thức bậc hai

Bài 3. Dấu của tam thức bậc hai - SGK Toán 10 - Cánh diều

Bài 3 trong chương Hàm số và đồ thị, sách Toán 10 tập 1 - Cánh diều, tập trung vào việc nghiên cứu dấu của tam thức bậc hai. Đây là một kiến thức nền tảng quan trọng, không chỉ phục vụ cho việc giải các bài toán trong chương trình học mà còn là bước đệm cho các kiến thức nâng cao hơn trong các lớp học tiếp theo.

1. Khái niệm tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai là một biểu thức đại số có dạng f(x) = ax² + bx + c, trong đó a, b, và c là các hệ số thực, và a ≠ 0. Việc xác định dấu của tam thức bậc hai là tìm ra khoảng giá trị của x sao cho f(x) dương, âm, hoặc bằng không.

2. Điều kiện xác định dấu của tam thức bậc hai

Để xác định dấu của tam thức bậc hai, chúng ta cần xem xét đến hệ số a và biệt thức Δ = b² - 4ac.

• Trường hợp 1: a > 0
• Nếu Δ < 0: Tam thức f(x) luôn dương với mọi x.
• Nếu Δ = 0: Tam thức f(x) dương hoặc bằng không với mọi x.
• Nếu Δ > 0: Tam thức f(x) đổi dấu qua hai nghiệm x₁ và x₂ (với x₁ < x₂). Cụ thể:
• f(x) > 0 khi x < x₁ hoặc x > x₂
• f(x) = 0 khi x = x₁ hoặc x = x₂
• f(x) < 0 khi x₁ < x < x₂
• Trường hợp 2: a < 0
• Nếu Δ < 0: Tam thức f(x) luôn âm với mọi x.
• Nếu Δ = 0: Tam thức f(x) âm hoặc bằng không với mọi x.
• Nếu Δ > 0: Tam thức f(x) đổi dấu qua hai nghiệm x₁ và x₂ (với x₁ < x₂). Cụ thể:
• f(x) < 0 khi x < x₁ hoặc x > x₂
• f(x) = 0 khi x = x₁ hoặc x = x₂
• f(x) > 0 khi x₁ < x < x₂

3. Ví dụ minh họa

Xét tam thức bậc hai f(x) = 2x² - 5x + 2. Ta có a = 2, b = -5, và c = 2. Biệt thức Δ = (-5)² - 4 * 2 * 2 = 25 - 16 = 9 > 0. Vì a > 0 và Δ > 0, tam thức f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ = 2 và x₂ = 1/2. Do đó:

• f(x) > 0 khi x < 1/2 hoặc x > 2
• f(x) = 0 khi x = 1/2 hoặc x = 2
• f(x) < 0 khi 1/2 < x < 2

4. Ứng dụng của việc xác định dấu tam thức bậc hai

Việc xác định dấu của tam thức bậc hai có nhiều ứng dụng trong toán học, đặc biệt là trong việc giải các bất phương trình bậc hai, tìm tập xác định của hàm số, và nghiên cứu các bài toán tối ưu.

5. Bài tập luyện tập

1. Xác định dấu của tam thức bậc hai f(x) = -x² + 4x - 3.
2. Giải bất phương trình 2x² - x - 1 > 0.
3. Tìm tập xác định của hàm số y = √(x² - 3x + 2).

Hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản và hữu ích về dấu của tam thức bậc hai. Chúc các em học tập tốt!