Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Bài 3 trong chương 1 Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức tập trung vào một khái niệm quan trọng trong việc phân tích và vẽ đồ thị hàm số: đường tiệm cận. Hiểu rõ về đường tiệm cận giúp học sinh dự đoán được hành vi của đồ thị hàm số khi x hoặc y tiến tới vô cùng, từ đó vẽ được đồ thị chính xác hơn.

1. Khái niệm đường tiệm cận

Đường tiệm cận là đường thẳng mà đồ thị hàm số tiến gần đến khi x hoặc y tiến tới vô cùng. Có ba loại đường tiệm cận:

• Tiệm cận đứng: Đường thẳng x = a là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu lim_x→a⁺ f(x) = ±∞ hoặc lim_x→a^- f(x) = ±∞.
• Tiệm cận ngang: Đường thẳng y = b là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu lim_x→+∞ f(x) = b hoặc lim_x→-∞ f(x) = b.
• Tiệm cận xiên: Đường thẳng y = ax + b (với a ≠ 0) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu lim_x→+∞ [f(x) - (ax + b)] / x = 0 hoặc lim_x→-∞ [f(x) - (ax + b)] / x = 0.

2. Cách tìm đường tiệm cận

Để tìm đường tiệm cận, ta thực hiện các bước sau:

1. Tiệm cận đứng: Tìm các giá trị x sao cho mẫu số của hàm số bằng 0 và tử số khác 0.
2. Tiệm cận ngang: Tính giới hạn của hàm số khi x tiến tới +∞ và -∞.
3. Tiệm cận xiên: Tính a = lim_x→+∞ f(x) / x và b = lim_x→+∞ [f(x) - ax] (tương tự với x→-∞).

3. Ví dụ minh họa

Xét hàm số y = (2x + 1) / (x - 1). Ta có:

• Tiệm cận đứng: x - 1 = 0 => x = 1.
• Tiệm cận ngang: lim_x→+∞ (2x + 1) / (x - 1) = 2 => y = 2.
• Tiệm cận xiên: Không có.

Vậy hàm số có tiệm cận đứng x = 1 và tiệm cận ngang y = 2.

4. Ứng dụng của đường tiệm cận

Đường tiệm cận có nhiều ứng dụng trong việc vẽ đồ thị hàm số:

• Giúp xác định hình dạng tổng quát của đồ thị.
• Giúp xác định các khoảng mà đồ thị nằm trên hoặc dưới đường tiệm cận.
• Giúp vẽ đồ thị chính xác hơn.

5. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập sau:

1. Tìm đường tiệm cận của hàm số y = (x + 2) / (x - 3).
2. Tìm đường tiệm cận của hàm số y = (3x² + 1) / (x² - 4).
3. Tìm đường tiệm cận của hàm số y = (x² - 1) / (x + 1).

Loigiai.com.vn hy vọng rằng bài viết này đã giúp các em hiểu rõ hơn về đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Chúc các em học tập tốt!