Loigiai.com.vn cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho mục 3 trang 23, 24 sách giáo khoa Toán 12 tập 1 chương trình Kết nối tri thức. Bài giải được trình bày rõ ràng, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Chúng tôi luôn cập nhật lời giải mới nhất, đảm bảo tính chính xác và phù hợp với chương trình học. Hãy cùng loigiai.com.vn khám phá lời giải cho từng bài tập trong mục này!
Đường tiệm cận xiên
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 24 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 4x + 2}}{{1 - x}}\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tìm khái niệm đường tiệm cận xiên để tìm tiệm cận xiên: Đường thẳng \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\) gọi là đường tiệm cận xiên (gọi tắt là tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {ax + b} \right)} \right] = 0\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {ax + b} \right)} \right] = 0\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 4x + 2}}{{1 - x}} = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^2} - 4x + 2}}{{1 - x}} = - \infty \)
Vậy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) là đường thẳng \(x = 1\)
Ta có: \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 4x + 2}}{{1 - x}} = - x + 3 - \frac{1}{{1 - x}}\)
Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( { - x + 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 1}}{{1 - x}} = 0\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( { - x + 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 1}}{{1 - x}} = 0\)
Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) là đường thẳng \(y = - x + 3\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 23 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = x - 1 + \frac{2}{{x + 1}}\) có đồ thị (C) và đường thẳng \(y = x - 1\) như Hình 1.24.
a) Với \(x > - 1\), xét điểm M (x; f(x)) thuộc (C). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng \(y = x - 1\). Có nhận xét gì về khoảng cách MH khi \(x \to + \infty \)?
b) Chứng tỏ rằng \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {x - 1} \right)} \right] = 0\). Tính chất này thể hiện trên Hình 1.24 như thế nào?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về giới hạn của hàm số để tính giới hạn.
Lời giải chi tiết:
a) Nhìn vào đồ thị ta thấy, khi \(x \to + \infty \) thì khoảng cách MH tiến tới 0.
b) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {x - 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {x - 1 + \frac{2}{{x + 1}} - \left( {x - 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{2}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\frac{2}{x}}}{{1 + \frac{1}{x}}} = 0\)
Tính chất này được thể hiện trong Hình 1.24 là: Khoảng cách từ điểm M của đồ thị hàm số (C) đến đường thẳng \(y = x - 1\) tiến đến 0 khi \(x \to + \infty \).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 24 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 4x + 2}}{{1 - x}}\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tìm khái niệm đường tiệm cận xiên để tìm tiệm cận xiên: Đường thẳng \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\) gọi là đường tiệm cận xiên (gọi tắt là tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {ax + b} \right)} \right] = 0\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {ax + b} \right)} \right] = 0\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 4x + 2}}{{1 - x}} = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^2} - 4x + 2}}{{1 - x}} = - \infty \)
Vậy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) là đường thẳng \(x = 1\)
Ta có: \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 4x + 2}}{{1 - x}} = - x + 3 - \frac{1}{{1 - x}}\)
Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( { - x + 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 1}}{{1 - x}} = 0\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( { - x + 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 1}}{{1 - x}} = 0\)
Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) là đường thẳng \(y = - x + 3\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 23 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = x - 1 + \frac{2}{{x + 1}}\) có đồ thị (C) và đường thẳng \(y = x - 1\) như Hình 1.24.
a) Với \(x > - 1\), xét điểm M (x; f(x)) thuộc (C). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng \(y = x - 1\). Có nhận xét gì về khoảng cách MH khi \(x \to + \infty \)?
b) Chứng tỏ rằng \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {x - 1} \right)} \right] = 0\). Tính chất này thể hiện trên Hình 1.24 như thế nào?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về giới hạn của hàm số để tính giới hạn.
Lời giải chi tiết:
a) Nhìn vào đồ thị ta thấy, khi \(x \to + \infty \) thì khoảng cách MH tiến tới 0.
b) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {x - 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {x - 1 + \frac{2}{{x + 1}} - \left( {x - 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{2}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\frac{2}{x}}}{{1 + \frac{1}{x}}} = 0\)
Tính chất này được thể hiện trong Hình 1.24 là: Khoảng cách từ điểm M của đồ thị hàm số (C) đến đường thẳng \(y = x - 1\) tiến đến 0 khi \(x \to + \infty \).
Mục 3 trang 23, 24 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức tập trung vào việc nghiên cứu về giới hạn của hàm số tại một điểm. Đây là một khái niệm nền tảng quan trọng trong chương trình Toán học lớp 12, mở đầu cho việc học tập các khái niệm về đạo hàm và tích phân. Việc nắm vững kiến thức về giới hạn hàm số sẽ giúp học sinh giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong tương lai.
Ví dụ: Tính limx→2 (x2 - 4) / (x - 2)
Lời giải: Ta có thể phân tích tử thức thành (x - 2)(x + 2). Khi đó:
limx→2 (x2 - 4) / (x - 2) = limx→2 (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = limx→2 (x + 2) = 4
Ví dụ: Tìm limx→0 sin(x) / x
Lời giải: Đây là một giới hạn lượng giác cơ bản. Ta có thể sử dụng định lý giới hạn của sin(x) / x khi x tiến tới 0:
limx→0 sin(x) / x = 1
Ví dụ: Xét sự liên tục của hàm số f(x) = (x2 - 1) / (x - 1) tại x = 1
Lời giải: Ta có thể rút gọn hàm số thành f(x) = x + 1 khi x ≠ 1. Khi đó:
limx→1 f(x) = limx→1 (x + 1) = 2
Tuy nhiên, hàm số không xác định tại x = 1. Do đó, hàm số không liên tục tại x = 1.
Việc nắm vững kiến thức về giới hạn hàm số và các phương pháp giải bài tập liên quan là rất quan trọng đối với học sinh lớp 12. Hy vọng rằng với những hướng dẫn chi tiết và bài giải mẫu trên, các em sẽ tự tin hơn khi giải các bài tập trong Mục 3 trang 23, 24 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức.
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
