Bài 4. Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ

Bài 4. Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ - SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo: Giải pháp chi tiết

I. Giới thiệu chung về đường conic

Đường conic là tập hợp các điểm thỏa mãn một điều kiện hình học nhất định liên quan đến một điểm cố định (tiêu điểm) và một đường thẳng cố định (đường chuẩn). Ba đường conic cơ bản là elip, hypebol và parabol.

1. Elip

Định nghĩa: Elip là tập hợp các điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai điểm cố định F1 và F2 (tiêu điểm) là một hằng số (2a, với a > 0).

Phương trình chính tắc:\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (với a > b > 0)

Các yếu tố của elip:

• Tiêu điểm: F1(-c; 0), F2(c; 0), với c^2 = a^2 - b^2
• Độ dài trục lớn: 2a
• Độ dài trục nhỏ: 2b
• Tâm sai: e = \frac{c}{a}

2. Hypebol

Định nghĩa: Hypebol là tập hợp các điểm M sao cho trị tuyệt đối của hiệu khoảng cách từ M đến hai điểm cố định F1 và F2 (tiêu điểm) là một hằng số (2a, với a > 0).

Phương trình chính tắc:\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 (với a > 0, b > 0)

Các yếu tố của hypebol:

• Tiêu điểm: F1(-c; 0), F2(c; 0), với c^2 = a^2 + b^2
• Độ dài trục thực: 2a
• Độ dài trục ảo: 2b
• Tâm sai: e = \frac{c}{a}
• Tiệm cận: y = ±\frac{b}{a}x

3. Parabol

Định nghĩa: Parabol là tập hợp các điểm M sao cho khoảng cách từ M đến một điểm cố định F (tiêu điểm) bằng khoảng cách từ M đến một đường thẳng cố định Δ (đường chuẩn).

Phương trình chính tắc:y^2 = 2px (với p > 0)

Các yếu tố của parabol:

• Tiêu điểm: F(\frac{p}{2}; 0)
• Đường chuẩn: x = -\frac{p}{2}
• Đỉnh: O(0; 0)

II. Bài tập áp dụng và lời giải chi tiết (Ví dụ)

Bài 1: Xác định các yếu tố của elip có phương trình \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1

Lời giải:

Ta có a² = 9, b² = 4 => a = 3, b = 2

c² = a² - b² = 9 - 4 = 5 => c = \sqrt{5}

Vậy elip có:

• Tiêu điểm: F1(-\sqrt{5}; 0), F2(\sqrt{5}; 0)
• Trục lớn: 2a = 6
• Trục nhỏ: 2b = 4
• Tâm sai: e = \frac{\sqrt{5}}{3}

Bài 2: Xác định các yếu tố của hypebol có phương trình \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1

Lời giải:

Tương tự như bài 1, ta xác định được các yếu tố của hypebol.

Bài 3: Xác định các yếu tố của parabol có phương trình y² = 8x

Lời giải:

Ta có 2p = 8 => p = 4

Vậy parabol có:

• Tiêu điểm: F(2; 0)
• Đường chuẩn: x = -2
• Đỉnh: O(0; 0)

III. Lưu ý khi giải bài tập về đường conic

• Nắm vững định nghĩa và phương trình chính tắc của từng loại đường conic.
• Xác định đúng các yếu tố của đường conic từ phương trình.
• Sử dụng các công thức liên hệ giữa các yếu tố của đường conic.
• Rèn luyện kỹ năng giải bài tập đa dạng để nắm vững kiến thức.