Bài 5. Phương trình đường tròn

Bài 5. Phương trình đường tròn - SGK Toán 10 - Cánh diều

Bài 5 trong sách giáo khoa Toán 10 Cánh diều tập 2 tập trung vào việc tìm hiểu phương trình đường tròn. Đây là một khái niệm cơ bản và quan trọng trong hình học tọa độ, giúp chúng ta biểu diễn đường tròn một cách chính xác và dễ dàng trong hệ tọa độ Descartes.

I. Khái niệm cơ bản về đường tròn

Đường tròn là tập hợp tất cả các điểm nằm trên một mặt phẳng, cách một điểm cố định (gọi là tâm) một khoảng không đổi (gọi là bán kính). Phương trình đường tròn là một biểu thức toán học mô tả mối quan hệ giữa tọa độ của các điểm trên đường tròn và các thông số của nó (tâm và bán kính).

II. Phương trình chính tắc của đường tròn

Phương trình chính tắc của đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính R được viết như sau:

(x - a)² + (y - b)² = R²

Trong đó:

• x, y là tọa độ của một điểm bất kỳ trên đường tròn.
• a, b là tọa độ của tâm đường tròn.
• R là bán kính của đường tròn.

III. Phương trình tổng quát của đường tròn

Phương trình tổng quát của đường tròn có dạng:

x² + y² - 2ax - 2by + c = 0

Trong đó:

• a, b là hoành độ và tung độ của tâm đường tròn.
• c = a² + b² - R²

Điều kiện để phương trình trên là phương trình của một đường tròn là: a² + b² - c > 0

IV. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Lập phương trình đường tròn có tâm I(2; -3) và bán kính R = 5.

Giải:

Áp dụng phương trình chính tắc của đường tròn, ta có:

(x - 2)² + (y + 3)² = 5²

(x - 2)² + (y + 3)² = 25

Ví dụ 2: Tìm tâm và bán kính của đường tròn có phương trình: x² + y² - 4x + 6y - 3 = 0

Giải:

Ta có: a = 2, b = -3, c = -3

Tâm của đường tròn là I(2; -3)

Bán kính của đường tròn là R = √(a² + b² - c) = √(2² + (-3)² - (-3)) = √16 = 4

V. Các dạng bài tập thường gặp

• Xác định tâm và bán kính của đường tròn từ phương trình.
• Lập phương trình đường tròn khi biết tâm và bán kính.
• Xác định phương trình đường tròn khi biết các yếu tố khác (ví dụ: đường tròn đi qua ba điểm).
• Kiểm tra một điểm có nằm trên đường tròn hay không.

VI. Mở rộng và ứng dụng

Phương trình đường tròn có nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn như trong việc thiết kế các bánh răng, vòng bi, hoặc trong việc mô tả quỹ đạo của các vật thể chuyển động tròn.

Hy vọng với lời giải chi tiết và các ví dụ minh họa trên, các em học sinh đã nắm vững kiến thức về Bài 5. Phương trình đường tròn - SGK Toán 10 - Cánh diều. Chúc các em học tập tốt!