Bài 9. Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

Bài 9: Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị - Lý thuyết và phương pháp giải

Trong chương 3, Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức, các em học sinh sẽ được làm quen với các số đo đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu. Một trong những số đo quan trọng nhất là khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị. Bài viết này sẽ cung cấp lý thuyết, phương pháp giải và các ví dụ minh họa để giúp các em hiểu rõ hơn về hai khái niệm này.

1. Khoảng biến thiên

Khoảng biến thiên (range) của một mẫu số liệu là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu đó. Nó cho biết mức độ trải rộng của dữ liệu.

Công thức tính khoảng biến thiên:

R = X_max - X_min

Trong đó:

• R là khoảng biến thiên
• X_max là giá trị lớn nhất trong mẫu số liệu
• X_min là giá trị nhỏ nhất trong mẫu số liệu

2. Khoảng tứ phân vị

Khoảng tứ phân vị (interquartile range - IQR) là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba (Q₃) và tứ phân vị thứ nhất (Q₁). Nó đo lường mức độ phân tán của 50% dữ liệu trung tâm.

Công thức tính khoảng tứ phân vị:

IQR = Q₃ - Q₁

Để tính khoảng tứ phân vị, trước tiên chúng ta cần tìm các tứ phân vị Q₁, Q₂, Q₃.

• Tứ phân vị thứ nhất (Q₁): Là giá trị chia nhỏ mẫu số liệu thành hai phần, sao cho 25% số liệu nhỏ hơn hoặc bằng Q₁ và 75% số liệu lớn hơn hoặc bằng Q₁.
• Tứ phân vị thứ hai (Q₂): Là trung vị của mẫu số liệu.
• Tứ phân vị thứ ba (Q₃): Là giá trị chia nhỏ mẫu số liệu thành hai phần, sao cho 75% số liệu nhỏ hơn hoặc bằng Q₃ và 25% số liệu lớn hơn hoặc bằng Q₃.

3. Ví dụ minh họa

Xét mẫu số liệu sau: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20

a) Tính khoảng biến thiên:

X_max = 20

X_min = 2

R = 20 - 2 = 18

b) Tính khoảng tứ phân vị:

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự tăng dần: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20

n = 10

Q₁ là trung vị của nửa dưới của mẫu số liệu: (4 + 6) / 2 = 5

Q₂ là trung vị của mẫu số liệu: (10 + 12) / 2 = 11

Q₃ là trung vị của nửa trên của mẫu số liệu: (16 + 18) / 2 = 17

IQR = Q₃ - Q₁ = 17 - 5 = 12

4. Ứng dụng của khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị được sử dụng để:

• Đo lường mức độ phân tán của dữ liệu.
• So sánh mức độ phân tán của các mẫu số liệu khác nhau.
• Phát hiện các giá trị ngoại lệ (outliers).

5. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức về khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị, các em có thể thực hiện các bài tập sau:

1. Tính khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị cho các mẫu số liệu sau: 1, 3, 5, 7, 9
2. Tính khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị cho các mẫu số liệu sau: 10, 20, 30, 40, 50, 60

Hy vọng bài viết này đã giúp các em hiểu rõ hơn về khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị. Chúc các em học tập tốt!