đề toán tuyển sinh lớp 10 năm 2019 – 2020 trường chuyên thái bình (vòng 2)

Ngày 26 tháng 05 năm 2019, trường THPT chuyên tỉnh Thái Bình tổ chức kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm học 2019 – 2020, nhằm tuyển chọn các em học sinh vào các lớp 10 chuyên Toán – Tin để chuẩn bị cho năm học mới.

Đề Toán tuyển sinh lớp 10 năm 2019 – 2020 trường THPT chuyên Thái Bình (Vòng 2) gồm 5 bài toán dạng tự luận, thời gian làm bài 150 phút.

Trích dẫn đề Toán tuyển sinh lớp 10 năm 2019 – 2020 trường THPT chuyên Thái Bình (Vòng 2):

+ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm M(a;b) được gọi là điểm nguyên nếu cả a và b đều là số nguyên. Chứng minh rằng tồn tại điểm I trong mặt phẳng tọa độ và 2019 số thực dương R1, R2 … R2019 sao cho có đúng k điểm nguyên nằm trong đường tròn (I;Rk) với mọi k là số nguyên dương không vượt quá 2019.

[ads]

+ Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R. Trên cung nhỏ AD lấy điểm E bất kì (E không trùng với A và D). Tia EB cắt các đường thẳng AD, AC lần lượt tại I và K. Tia EC cắt các đường thẳng DA, DB lần lượt tại M và N. Hai đường thẳng AN, DK cắt nhau tại P.

1. Chứng minh: Tứ giác EPND nội tiếp một đường tròn.

2. Chứng minh: góc EKM = góc DKM.

3. Khi M là trung điểm của AD, tính độ dài đoạn thẳng AE theo R.

+ Tìm các nghiệm nguyên (x;y) của phương trình √x + √y = √2020.