giải bài tập sgk giải tích 12 cơ bản: nguyên hàm

Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 cơ bản: Nguyên hàm.

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 1. Trong các cặp hàm số dưới đây, hàm số nào là nguyên hàm của hàm số kia?

a) \({e^{ – x}}\) và \( – {e^{ – x}}.\)

b) \(\sin 2x\) và \({\sin ^2}x.\)

c) \({\left( {1 – \frac{2}{x}} \right)^2}{e^x}\) và \(\left( {1 – \frac{4}{x}} \right){e^x}.\)

Lời giải:

a) Hàm số \({e^{ – x}}\) là một nguyên hàm của hàm số \( – {e^{ – x}}\) và hàm số \( – {e^{ – x}}\) cũng là một nguyên hàm của hàm số \({e^{ – x}}\) vì: \(\left( {{e^{ – x}}} \right)’ = – {e^{ – x}}\) và \(\left( { – {e^{ – x}}} \right)’ = {e^{ – x}}.\)

b) Hàm số \({\sin ^2}x\) là một nguyên hàm của hàm số \(\sin 2x\) vì: \(\left( {{{\sin }^2}x} \right)’ = \sin 2x.\)

c) Ta có: \(\left[ {\left( {1 – \frac{4}{x}} \right){e^x}} \right]’\) \( = {e^x}.\frac{4}{{{x^2}}} + {e^x}\left( {1 – \frac{4}{x}} \right)\) \( = {e^x}\left( {\frac{4}{{{x^2}}} + 1 – \frac{4}{x}} \right)\) \( = {e^x}{\left( {1 – \frac{2}{x}} \right)^2}.\)

Vậy: \(\left( {1 – \frac{4}{x}} \right){e^x}\) là một nguyên hàm của hàm số \({e^x}{\left( {1 – \frac{2}{x}} \right)^2}\) với mọi \(x \ne 0.\)

Bài 2. Tìm một nguyên hàm của các hàm số dưới đây:

a) \(f(x) = \frac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt[3]{x}}}.\)

b) \(f(x) = \frac{{{2^x} – 1}}{{{e^x}}}.\)

c) \(f(x) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x}}.\)

d) \(f(x) = \sin 5x.\cos 3x.\)

e) \(f(x) = {\tan ^2}x.\)

g) \(f(x) = {e^{3 – 2x}}.\)

h) \(f(x) = \frac{1}{{(1 + x)(1 – 2x)}}.\)

Lời giải:

a) Ta có: \(f(x) = \frac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt[3]{x}}}\) \( = \frac{x}{{{x^{\frac{1}{3}}}}} + \frac{{{x^{\frac{1}{2}}}}}{{{x^{\frac{1}{3}}}}} + \frac{1}{{{x^{\frac{1}{3}}}}}\) \( = {x^{\frac{2}{3}}} + {x^{\frac{1}{6}}} + {x^{ – \frac{1}{3}}}.\)

Suy ra nguyên hàm của \(f(x)\) là: \(\frac{3}{5}{x^{\frac{5}{3}}} + \frac{6}{7}{x^{\frac{7}{6}}} + \frac{3}{2}{x^{\frac{2}{3}}}.\)

b) \(\frac{{{2^x} + 1 – \ln 2}}{{{e^x}(1 – \ln 2)}}.\)

c) \( – 2\cot 2x.\)

d) \(\sin x + \cos x.\)

e) \(\tan x – x.\)

g) \( – \frac{1}{2}{e^{3 – 2x}}.\)

h) \(\frac{1}{3}\ln \left| {\frac{{1 + x}}{{1 – 2x}}} \right|.\)

Bài 3. Sử dụng phương pháp đổi biến số hãy tính:

a) \(\int {{{(1 – x)}^9}} dx.\)

b) \(\int x {\left( {1 + {x^2}} \right)^{\frac{3}{2}}}dx.\)

c) \(\int {{{\cos }^3}} x.\sin xdx.\)

d) \(\int {\frac{{dx}}{{{e^x} + {e^{ – x}} + 2}}} .\)

Lời giải:

a) Đặt \(u = 1 – x\) ta có \(du = – dx.\)

Do đó: \(\int {{{(1 – x)}^9}} dx\) \( = – \int {{u^9}} du\) \( = – \frac{1}{{10}}{u^{10}} + C.\)

Thay \(u = 1 – x\), ta được: \(\int {{{(1 – x)}^9}} dx\) \( = – \frac{1}{{10}}{(1 – x)^{10}} + C.\)

b) Đặt \(u = 1 + {x^2}\) ta có: \(du = 2xdx\) \( \Rightarrow xdx = \frac{{du}}{2}.\)

Do đó: \(\int x {\left( {1 + {x^2}} \right)^{\frac{3}{2}}}dx\) \( = \frac{1}{2}\int {{u^{\frac{3}{2}}}} du\) \( = \frac{1}{2}.\frac{1}{{\frac{3}{2} + 1}}{u^{\frac{3}{2} + 1}} + C\) \( = \frac{1}{5}{u^{\frac{5}{2}}} + C.\)

Thay \(u = 1 + {x^2}\), ta được: \(\int x {\left( {1 + {x^2}} \right)^{\frac{3}{2}}}dx\) \( = \frac{1}{5}{\left( {1 + {x^2}} \right)^{\frac{5}{2}}} + C.\)

c) Đặt \(u = \cos x\) ta có: \(du = – \sin xdx.\)

Do đó: \(\int {{{\cos }^3}} x.\sin xdx\) \( = – \int {{u^3}} du\) \( = – \frac{1}{4}{u^4} + C.\)

Thay \(u = \cos x\), ta được: \(\int {{{\cos }^3}} x.\sin xdx\) \( = – \frac{1}{4}{\cos ^4}x + C.\)

d) Đặt \(u = {e^x}\) ta có \(du = {e^x}dx.\)

Do đó: \(\int {\frac{{dx}}{{{e^x} + {e^{ – x}} + 2}}} \) \( = \int {\frac{{dx}}{{{e^x} + \frac{1}{{{e^x}}} + 2}}} \) \( = \int {\frac{{du}}{{{u^2} + 2u + 1}}} \) \( = \int {\frac{{du}}{{{{(u + 1)}^2}}}} \) \( = \int {\frac{{d(u + 1)}}{{{{(u + 1)}^2}}}} .\)

\( = \int {{{(u + 1)}^{ – 2}}} d(u + 1)\) \( = – {(u + 1)^{ – 1}} + C\) \( = – \frac{1}{{u + 1}} + C.\)

Thay \(u = {e^x}\), ta được: \(\int {\frac{{dx}}{{{e^x} + {e^{ – x}} + 2}}} \) \( = – \frac{1}{{{e^x} + 1}} + C.\)

Cách khác:

Ta có: \(\int {\frac{{dx}}{{{e^x} + {e^{ – x}} + 2}}} \) \( = \int {\frac{{dx}}{{{e^x} + \frac{1}{{{e^x}}} + 2}}} \) \( = \int {\frac{{{e^x}dx}}{{{{\left( {{e^x} + 1} \right)}^2}}}} \) \( = \int {\frac{{d\left( {{e^x} + 1} \right)}}{{{{\left( {{e^x} + 1} \right)}^2}}}} .\)

\( = \int {{{\left( {{e^x} + 1} \right)}^{ – 2}}} d\left( {{e^x} + 1} \right)\) \( = – \frac{1}{{{e^x} + 1}} + C.\)

Bài 4. Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:

a) \(\int x \ln (1 + x)dx.\)

b) \(\int {\left( {{x^2} + 2x – 1} \right){e^x}dx} .\)

c) \(\int x \sin (2x + 1)dx.\)

b) \(\int {(1 – x)} \cos xdx.\)

Lời giải:

a) Đặt \(u = \ln (1 + x)\), \(dv = xdx\) ta có: \(du = \frac{1}{{1 + x}}dx\), \(v = \frac{{{x^2}}}{2}.\)

Áp dụng công thức tính nguyên hàm từng phần ta có:

\(\int x \ln (1 + x)dx\) \( = \frac{{{x^2}}}{2}\ln (1 + x) – \frac{1}{2}\int {\frac{{{x^2}}}{{1 + x}}dx} .\)

\( = \frac{{{x^2}}}{2}\ln (1 + x)\) \( – \frac{1}{2}\int {\frac{{{x^2} – 1 + 1}}{{1 + x}}dx} \) \( = \frac{{{x^2}}}{2}\ln (1 + x)\) \( – \frac{1}{2}\int {\left( {x – 1 + \frac{1}{{1 + x}}} \right)dx.} \)

\( = \frac{{{x^2}}}{2}\ln (1 + x)\) \( – \frac{1}{2}\int {(x – 1)dx} \) \( – \frac{1}{2}\int {\frac{{dx}}{{1 + x}}} .\)

\( = \frac{{{x^2}}}{2}\ln (1 + x)\) \( – \frac{1}{2}\left( {\frac{{{x^2}}}{2} – x} \right)\) \( – \frac{1}{2}\ln (1 + x) + C.\)

\( = \frac{{{x^2}}}{2}\ln (1 + x)\) \( – \frac{{{x^2}}}{4} + \frac{x}{2}\) \( – \frac{1}{2}\ln (1 + x) + C\) \( = \frac{1}{2}\left( {{x^2} – 1} \right)\ln (1 + x)\) \( – \frac{{{x^2}}}{4} + \frac{x}{2} + C.\)

b) \(\int {\left( {{x^2} + 2x – 1} \right){e^x}dx} .\)

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{u = {x^2} + 2x – 1}\\

{dv = {e^x}dx}

\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{du = 2(x + 1)dx}\\

{v = {e^x}}

\end{array}} \right..\)

Áp dụng công thức tính nguyên hàm từng phần ta có:

\(\int {\left( {{x^2} + 2x – 1} \right){e^x}dx} \) \( = \left( {{x^2} + 2x – 1} \right){e^x}\) \( – 2\int {(x + 1){e^x}dx} .\)

Lại đặt: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{{u_1} = x + 1}\\

{d{v_1} = {e^x}dx}

\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{d{u_1} = dx}\\

{{v_1} = {e^x}}

\end{array}} \right..\)

Áp dụng công thức tính nguyên hàm từng phần ta có:

\(\int {(x + 1){e^x}dx} \) \( = (x + 1){e^x} – \int {{e^x}} dx\) \( = (x + 1){e^x} – {e^x} + {C_1}\) \( = x{e^x} + {C_1}.\)

Vậy \(\int {\left( {{x^2} + 2x – 1} \right){e^x}dx} \) \( = \left( {{x^2} + 2x – 1} \right){e^x} – 2x{e^x} + C\) \( = \left( {{x^2} – 1} \right){e^x} + C.\)

c) Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{u = x}\\

{dv = \sin (2x + 1)dx}

\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{du = dx}\\

{v = – \frac{1}{2}\cos (2x + 1)}

\end{array}} \right..\)

Áp dụng công thức tính nguyên hàm từng phần ta có:

\(\int x \sin (2x + 1)dx\) \( = – \frac{1}{2}x.\cos (2x + 1)\) \( + \frac{1}{2}\int {\cos (2x + 1)dx} .\)

\( = – \frac{1}{2}x\cos (2x + 1)\) \( + \frac{1}{4}\int {\cos (2x + 1)d(2x + 1)} .\)

\( = – \frac{1}{2}x\cos (2x + 1)\) \( + \frac{1}{4}\sin (2x + 1) + C.\)

d) Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{u = 1 – x}\\

{dv = \cos xdx}

\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{du = – dx}\\

{v = \sin x}

\end{array}} \right..\)

Áp dụng công thức tính nguyên hàm từng phần ta có:

\(\int {(1 – x)} \cos xdx\) \( = (1 – x)\sin x + \int {\sin xdx} \) \( = (1 – x)\sin x – \cos x + C.\)