giải bài tập sgk giải tích 12 cơ bản: cộng, trừ và nhân số phức

Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 cơ bản: Cộng, trừ và nhân số phức.

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 1. Thực hiện các phép tính:

a) \((3 – 5i) + (2 + 4i).\)

b) \(( – 2 – 3i) + ( – 1 – 7i).\)

c) \((4 + 3i) – (5 – 7i).\)

d) \((2 – 3i) – (5 – 4i).\)

Lời giải:

a) Ta có: \((3 – 5i) + (2 + 4i)\) \( = (3 + 2) + ( – 5 + 4)i\) \( = 5 – i.\)

b) \(( – 2 – 3i) + ( – 1 – 7i)\) \( = ( – 2 – 1) + ( – 3 – 7)i\) \( = – 3 – 10i.\)

c) \((4 + 3i) – (5 – 7i)\) \( = (4 – 5) + (3 + 7)i\) \( = – 1 + 10i.\)

d) \((2 – 3i) – (5 – 4i)\) \( = (2 – 5) + ( – 3 + 4)i\) \( = – 3 + i.\)

Bài 2. Tính \(\alpha + \beta \) và \(\alpha – \beta \) với:

a) \(\alpha = 3\), \(\beta = 2i.\)

b) \(\alpha = 1 – 2i\), \(\beta = 6i.\)

c) \(\alpha = 5i\), \(\beta = – 7i.\)

d) \(\alpha = 15\), \(\beta = 4 – 2i.\)

Lời giải:

a) Ta có: \(\alpha – \beta = 3 – 2i\), \(\alpha + \beta = 3 + 2i.\)

b) \(\alpha + \beta \) \( = (1 – 2i) + 6i\) \( = 1 + 4i.\)

\(\alpha – \beta \) \( = (1 – 2i) – 6i\) \( = 1 – 8i.\)

c) \(\alpha + \beta = 5i – 7i = – 2i\); \(\alpha – \beta = 5i + 7i = 12i.\)

d) \(\alpha + \beta \) \( = 15 + (4 – 2i)\) \( = 19 – 2i.\)

\(\alpha – \beta \) \( = 15 – (4 – 2i)\) \( = 11 + 2i.\)

Bài 3. Thực hiện các phép tính sau:

a) \((3 – 2i)(2 – 3i).\)

b) \(( – 1 + i)(3 + 7i).\)

c) \(5(4 + 3i).\)

d) \(( – 2 – 5i)4i.\)

Lời giải:

a) Ta có: \((3 – 2i)(2 – 3i)\) \( = 6 + 6{i^2} – 13i\) \( = – 13i.\)

b) \(( – 1 + i)(3 + 7i)\) \( = – 3 + 7{i^2} – 4i\) \( = – 10 – 4i.\)

c) \(5(4 + 3i) = 20 + 15i.\)

d) \(( – 2 – 5i)4i\) \( = – 8i – 20{i^2}\) \( = 20 – 8i.\)

Bài 4. Tính \({i^3}\), \({i^4}\), \({i^5}.\) Nêu cách tính \({i^n}\) với \(n\) là số tự nhiên tùy ý.

Lời giải:

Ta có: \({i^3} = {i^2}.i = – i\); \({i^4} = {\left( {{i^2}} \right)^2} = {( – 1)^2} = 1\); \({i^5} = {i^4}.i = i.\)

Nêu cách tính \({i^n}\) với \(n\) là số tự nhiên tùy ý.

+ Nếu \(n = 4k + 1\) thì \({i^n} = i.\)

+ Nếu \(n = 4k + 2\) thì \({i^n} = – 1.\)

+ Nếu \(n = 4k + 3\) thì \({i^n} = – i.\)

+ Nếu \(n = 4k\) thì \({i^n} = 1.\)

Bài 5. Tính:

a) \({(2 + 3i)^2}.\)

b) \({(2 + 3i)^3}.\)

Lời giải:

a) Ta có: \({(2 + 3i)^2}\) \( = 4 + 12i + 9{i^2}\) \( = – 5 + 12i.\)

b) \({(2 + 3i)^2}\) \( = 8 + 36i + 54{i^2} + 27{i^3}\) \( = – 46 + 9i.\)