giải bài tập sgk giải tích 12 nâng cao: một số phương pháp tìm nguyên hàm

Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao: Một số phương pháp tìm nguyên hàm.

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 5. Dùng phương pháp đổi biến số, tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) \(f(x) = \frac{{9{x^2}}}{{\sqrt {1 – {x^3}} }}.\)

b) \(f(x) = \frac{1}{{\sqrt {5x + 4} }}.\)

c) \(f(x) = x\sqrt[4]{{1 – {x^2}}}.\)

d) \(f(x) = \frac{1}{{\sqrt x {{(1 + \sqrt x )}^2}}}.\)

Lời giải:

a) \(f(x) = \frac{{9{x^2}}}{{\sqrt {1 – {x^3}} }}\) \( \Rightarrow \int f (x)dx = \int {\frac{{9{x^2}}}{{\sqrt {1 – {x^3}} }}dx} .\)

Đặt \(u = 1 – {x^3}\) thì \(du = – 3{x^2}dx\) nên:

\(\int {\frac{{9{x^2}}}{{\sqrt {1 – {x^3}} }}dx} \) \( = \int {\frac{{ – 3du}}{{\sqrt u }}} \) \( = – 3\int {{u^{ – \frac{1}{2}}}} du\) \( = – 6\sqrt u + C\) \( = – 6\sqrt {1 – {x^3}} + C.\)

b) \(\int f (x)dx\) \( = \int {\frac{1}{{\sqrt {5x + 4} }}dx} \) \( = \frac{1}{5}\int {\frac{{d(5x + 1)}}{{{{(5x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}}} \) \( = \frac{1}{5}\int {{{(5x + 1)}^{ – \frac{1}{2}}}} d(5x + 1).\)

\( = \frac{1}{5}2.{(5x + 1)^{\frac{1}{2}}} + C\) \( = \frac{2}{5}\sqrt {5x + 4} + C.\)

c) \(\int f (x)dx = \int x \sqrt[4]{{1 – {x^2}}}dx.\)

Đặt \(u = 1 – {x^2}\) thì \(du = – 2xdx.\)

Nên \(\int f (x)dx\) \( = – \frac{1}{2}\int {\sqrt[4]{u}du} \) \( = – \frac{1}{2}\int {{u^{\frac{1}{4}}}} du\) \( = – \frac{2}{5}{u^{\frac{5}{4}}} + C\) \( = – \frac{2}{5}\sqrt {{{\left( {1 – {x^2}} \right)}^{\frac{5}{4}}}} + C.\)

d) \(\int f (x)dx\) \( = \int {\frac{1}{{\sqrt x {{(1 + \sqrt x )}^2}}}dx} .\)

Đặt \(u = 1 + \sqrt x \) thì \(du = – \frac{1}{{2\sqrt x }}dx.\)

Nên \(\int f (x)dx\) \( = 2\int {\frac{{du}}{{{u^2}}}} \) \( = 2\int {{u^{ – 2}}} du\) \( = – 2{u^{ – 1}} + C\) \( = \frac{{ – 2}}{{1 + \sqrt x }} + C.\)

Bài 6. Dùng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần, tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) \(f(x) = x\sin \frac{x}{2}.\)

b) \(f(x) = {x^2}\cos x.\)

c) \(f(x) = x.{e^x}.\)

d) \(f(x) = {x^3}\ln (2x).\)

Lời giải:

a) \(\int x \sin \frac{x}{2}dx.\)

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{u = x}\\

{dv = \sin \frac{x}{2}dx}

\end{array}} \right.\) thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{du = dx}\\

{v = – 2\cos \frac{x}{2}}

\end{array}} \right..\)

Cho nên: \(\int x \sin \frac{x}{2}dx\) \( = – 2x\cos \frac{x}{2} + \int 2 \cos \frac{x}{2}dx.\)

\( = – 2x\cos \frac{x}{2} + 4\sin \frac{x}{2} + C.\)

b) \(\int {{x^2}} \cos xdx.\)

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{{x^2} = u}\\

{dv = \cos xdx}

\end{array}} \right.\) thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{du = 2xdx}\\

{v = \sin x}

\end{array}} \right..\)

Cho nên: \(\int {{x^2}} \cos xdx\) \( = {x^2}\sin x – 2\int x \sin xdx.\)

Lại đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{{u_1} = x}\\

{d{v_1} = \sin xdx}

\end{array}} \right.\) thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{d{u_1} = dx}\\

{{v_1} = – \cos x}

\end{array}} \right..\)

Cho nên: \(\int {{x^2}} \cos xdx\) \( = {x^2}\sin x\) \( – 2\left[ { – x\cos x + \int {\cos xdx} } \right].\)

\( = {x^2}\sin x + 2x\cos x – 2\sin x + C.\)

c) \(\int {x{e^x}} dx.\)

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{u = x}\\

{dv = {e^x}dx}

\end{array}} \right.\) thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{du = dx}\\

{v = {e^x}}

\end{array}} \right..\)

Cho nên: \(\int {x{e^x}} dx\) \( = x{e^x} – \int {{e^x}} dx\) \( = x{e^x} – {e^x} + C.\)

d) \(\int {{x^3}} \ln (2x)dx.\)

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{u = \ln (2x)}\\

{dv = {x^3}dx}

\end{array}} \right.\) thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{du = \frac{1}{x}dx}\\

{v = \frac{{{x^4}}}{4}}

\end{array}} \right..\)

Cho nên: \(\int {{x^3}} \ln (2x)dx\) \( = \frac{{{x^4}}}{4}\ln (2x) – \int {\frac{{{x^4}}}{4}} .\frac{{dx}}{x}\) \( = \frac{{{x^4}}}{4}\ln (2x) – \frac{{{x^4}}}{{16}} + C.\)

LUYỆN TẬP

Bài 7. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) \(f(x) = 3x\sqrt {7 – 3{x^2}} .\)

b) \(f(x) = \cos (3x + 4).\)

c) \(f(x) = \frac{1}{{{{\cos }^2}(3x + 2)}}.\)

d) \(f(x) = {\sin ^5}\frac{x}{3}\cos \frac{x}{3}.\)

Lời giải:

a) Xét \(I = \int 3 x\sqrt {7 – 3{x^2}} dx.\)

Đặt \(t = \sqrt {7 – 3{x^2}} \) \( \Rightarrow {t^2} = 7 – 3{x^2}\) \( \Rightarrow tdt = – 3xdx\) \( \Leftrightarrow 3xdx = – tdt.\)

Suy ra: \(I = – \int t .tdt = – \frac{{{t^3}}}{3} + C.\)

Vậy \(I = \int 3 x\sqrt {7 – 3{x^2}} dx\) \( = – \frac{{\sqrt {{{\left( {7 – 3{x^2}} \right)}^3}} }}{3} + C.\)

b) Xét \(J = \int {\cos } (3x + 4)dx.\)

Đặt \(t = 3x + 4\) \( \Rightarrow dx = \frac{1}{3}dt.\) Suy ra: \(J = \frac{1}{3}\int {\cos t} dt\) \( = \frac{1}{3}\sin t + C.\)

Vậy nguyên hàm của hàm \(f(x) = \cos (3x + 4)\) là \(F(x) = \frac{1}{3}\sin (3x + 4) + C.\)

c) Xét \(K = \int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}(3x + 2)}}} .\)

Đặt \(t = 3x + 2\) \( \Rightarrow dx = \frac{1}{3}dt.\) Suy ra: \(K = \frac{1}{3}\int {\frac{{dt}}{{{{\cos }^2}t}}} \) \( = \frac{1}{3}\tan t + C.\)

Vậy \(\int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}(3x + 2)}}} \) \( = \frac{1}{3}\tan (3x + 2) + C.\)

d) Xét \(L = \int {{{\sin }^5}} \frac{x}{3}\cos \frac{x}{3}dx\) \( = \int {{{\left( {1 – {{\cos }^2}\frac{x}{3}} \right)}^2}} \cos \frac{x}{3}.\sin \frac{x}{3}dx.\)

Đặt \(t = \cos \frac{x}{3}\) \( \Rightarrow dt = – \frac{1}{3}\sin \frac{x}{3}dx\) \( \Rightarrow \sin \frac{x}{3}dx = – 3dt.\)

Suy ra: \(L = \int {{{\left( {1 – {t^2}} \right)}^2}} t.( – 3dt)\) \( = – 3\int {\left( {{t^5} – 2{t^3} + t} \right)dt} \) \( = – \frac{1}{3}{t^6} – \frac{1}{2}{t^4} + \frac{{{t^2}}}{2} + C.\)

Vậy nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {\sin ^5}\frac{x}{3}\cos \frac{x}{3}\) là:

\(F(x) = – \frac{1}{3}{\cos ^6}\frac{x}{3} – \frac{1}{2}{\cos ^4}\frac{x}{3} + \frac{1}{2}{\cos ^2}\frac{x}{3} + C.\)

Bài 8. Tìm nguyên hàm của các hàm số:

a) \(f(x) = {x^2}{\left( {\frac{{{x^3}}}{{18}} – 1} \right)^5}.\)

b) \(f(x) = \frac{1}{{{x^2}}}.\sin \frac{1}{x}\cos \frac{1}{x}.\)

c) \(f(x) = {x^3}{e^x}.\)

d) \(f(x) = {e^{\sqrt {3x – 9} }}.\)

Lời giải:

a) Xét \(I = \int {{x^2}} {\left( {\frac{{{x^3}}}{{18}} – 1} \right)^5}dx.\)

Đặt \(t = \frac{{{x^3}}}{{18}} – 1\) \( \Rightarrow dt = \frac{1}{6}{x^2}dx\) \( \Leftrightarrow {x^2}dx = 6dt.\)

Suy ra \(I = \int {{t^5}} .6dt = {t^6} + C.\)

Vậy \(I = \int {{x^2}} {\left( {\frac{{{x^3}}}{{18}} – 1} \right)^5}dx\) \( = {\left( {\frac{{{x^3}}}{{18}} – 1} \right)^6} + C.\)

b) Xét \(J = \int {\frac{1}{{{x^2}}}} .\sin \frac{1}{x}\cos \frac{1}{x}dx\) \( = \frac{1}{2}\int {\frac{1}{{{x^2}}}} .\sin \frac{2}{x}dx.\)

Đặt \(t = \frac{2}{x}\) \( \Rightarrow dt = – \frac{2}{{{x^2}}}dx\) \( \Leftrightarrow \frac{{dx}}{{{x^2}}} = – \frac{1}{2}dt.\)

Suy ra \(J = – \frac{1}{4}\int {\sin tdt} \) \( = \frac{1}{4}\cos t + C.\)

Vậy nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{{{x^2}}}.\sin \frac{1}{x}\cos \frac{1}{x}\) là \(F(x) = \frac{1}{4}\cos \frac{2}{x} + C.\)

c) Xét \(L = \int {{x^3}} .{e^x}dx.\)

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{u = {x^3}}\\

{dv = {e^x}dx}

\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{du = 3{x^2}dx}\\

{v = {e^x}}

\end{array}} \right..\)

Suy ra \(L = {x^3}.{e^x} – 3\int {{x^2}} .{e^x}dx.\)

Tương tự như trên. Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{{u_1} = {x^2}}\\

{d{v_1} = {e^x}dx}

\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{d{u_1} = 2xdx}\\

{{e^x} = {v_1}}

\end{array}} \right..\)

\( \Rightarrow L = {x^3}.{e^x} – 3\left( {{x^2}.{e^x}} \right) + 6\int {x{e^x}} dx\) \( = {x^3}.{e^x} – 3{x^2}.{e^x} + 6x.{e^x} – 6{e^x} + C.\)

\( = {e^x}\left( {{x^3} – 3{x^2} + 6x – 6} \right) + C.\)

d) Xét \(K = \int {{e^{\sqrt {3x – 9} }}} dx.\)

Đặt \(t = \sqrt {3x – 9} \) \( \Rightarrow {t^2} = 3x – 9\) \( \Rightarrow 2tdt = 3dx\) \( \Rightarrow K = \frac{2}{3}\int t .{e^t}dt.\)

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{u = t}\\

{dv = {e^t}dt}

\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{du = dt}\\

{v = {e^t}}

\end{array}} \right..\)

Suy ra \(K = \frac{2}{3}t.{e^t} – \frac{2}{3}\int {{e^t}} dt\) \( = \frac{2}{3}t.{e^t} – \frac{2}{3}{e^t} + C.\)

Vậy nguyên hàm của \(f(x) = {e^{\sqrt {3x – 9} }}\) là \(F(x) = \frac{2}{3}\sqrt {3x – 9} .{e^{\sqrt {3x – 9} }}\) \( – \frac{2}{3}{e^{\sqrt {3x – 9} }} + C.\)

Bài 9. Tìm nguyên hàm của các hàm số:

a) \(f(x) = {x^2}\cos 2x.\)

b) \(f(x) = \sqrt x .\ln x.\)

c) \(f(x) = {\sin ^4}x.\cos x.\)

d) \(f(x) = x\cos \left( {{x^2}} \right).\)

Lời giải:

a) Xét \(T = \int {{x^2}} \cos 2xdx.\)

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{u = {x^2}}\\

{dv = \cos 2xdx}

\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{dv = 2xdx}\\

{v = \frac{1}{2}\sin 2x}

\end{array}} \right..\)

Suy ra: \(I = {x^2}\frac{1}{2}\sin x – \int x .\sin 2xdx\) \( = \frac{{{x^2}\sin 2x}}{2} – \int x .\sin 2xdx.\)

Tính \({I_1} = \int x .\sin 2xdx.\)

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{{u_1} = x}\\

{d{v_1} = \sin 2xdx}

\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{d{u_1} = dx}\\

{{v_1} = – \frac{1}{2}\cos 2x}

\end{array}} \right..\)

\( \Rightarrow {I_1} = – \frac{1}{2}x\cos 2x + \frac{1}{2}\int {\cos 2xdx} \) \( = – \frac{1}{2}x\cos 2x + \frac{1}{2}.\frac{1}{2}\sin 2x + C.\)

Vậy \(\int {{x^2}} .\cos 2xdx\) \( = \frac{{{x^2}.\sin 2x}}{2} – \frac{1}{2}x\cos 2x\) \( + \frac{1}{4}\sin 2x + C.\)

b) Xét \(J = \int {\sqrt x } \ln xdx.\)

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{u = \ln x}\\

{dv = \sqrt x dx}

\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{du = \frac{1}{x}dx}\\

{v = \frac{2}{3}.{x^{\frac{3}{2}}}}

\end{array}} \right..\)

Suy ra: \(J = \frac{2}{3}.{x^{\frac{3}{2}}}.\ln x – \frac{2}{3}\int {\frac{1}{x}} (x\sqrt x )dx\) \( = \frac{2}{3}x\sqrt x \ln x – \frac{2}{3}\int {\sqrt x } dx.\)

\( = \frac{2}{3}x\sqrt x \ln x – \frac{2}{3}\int {{x^{\frac{1}{2}}}} dx\) \( = \frac{2}{3}x\sqrt x \ln x – \frac{2}{3}\frac{{x\sqrt x }}{{\frac{3}{2}}} + C.\)

\( = \frac{2}{3}x\sqrt x {\left( {\ln x – \frac{2}{3}} \right)^2} + C.\)

c) Xét \(L = \int {{{\sin }^4}} x.\cos xdx.\)

Đặt \(t = \sin x\) \( \Rightarrow dt = \cos xdx.\)

Suy ra: \(L = \int {{t^4}} dt = \frac{{{t^5}}}{5} + C.\)

Vậy \(L = \int {{{\sin }^4}} x\cos xdx\) \( = \frac{{{{\sin }^5}x}}{5} + C.\)

d) Xét \(K = \int x \cos \left( {{x^2}} \right)dx.\)

Đặt \(t = {x^2}\) \( \Rightarrow dt = 2xdx\) \( \Leftrightarrow xdx = \frac{{dt}}{2}.\)

Suy ra: \(K = \frac{1}{2}\int {\cos tdt} \) \( = \frac{1}{2}\sin t + C.\)

Vậy \(K = \int x \cos \left( {{x^2}} \right)dx\) \( = \frac{1}{2}\sin {x^2} + C.\)