giải bài tập sgk giải tích 12 nâng cao: phương trình mũ và lôgarit

Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao: Phương trình mũ và lôgarit.

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 63. Giải các phương trình sau:

a) \({(2 + \sqrt 3 )^{2x}} = 2 – \sqrt 3 .\)

b) \({2^{{x^2} – 3x + 2}} = 4.\)

c) \({2.3^{x + 1}} – {6.3^{x – 1}} – {3^x} = 9.\)

d) \({\log _3}\left( {{3^x} + 8} \right) = 2 + x.\)

Lời giải:

a) \({(2 + \sqrt 3 )^{2x}} = 2 – \sqrt 3 \) \( \Leftrightarrow {(2 + \sqrt 3 )^{2x}} = {(2 + \sqrt 3 )^{ – 1}}\) \( \Leftrightarrow 2x = – 1\) \( \Leftrightarrow x = – \frac{1}{2}.\)

Cách khác: \({(2 + \sqrt 3 )^{2x}} = 2 – \sqrt 3 \) \( \Leftrightarrow {(2 – \sqrt 3 )^{ – 2x}} = 2 – \sqrt 3 \) \( \Leftrightarrow x = – \frac{1}{2}.\)

b) \({2^{{x^2} – 3x + 2}} = 4\) \( \Leftrightarrow {x^2} – 3x + 2 = 2\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 0}\\

{x = 3}

\end{array}} \right..\)

c) \({2.3^{x + 1}} – {6.3^{x – 1}} – {3^x} = 9\) \( \Leftrightarrow {6.3^x} – {2.3^x} – {3^x} = 9\) \( \Leftrightarrow {3.3^x} = 9\) \( \Leftrightarrow {3^x} = 3\) \( \Leftrightarrow x = 1.\)

d) \({\log _3}\left( {{3^x} + 8} \right) = 2 + x\) \( \Leftrightarrow {3^x} + 8 = {3^{2 + x}}\) \( \Leftrightarrow {3^x} + 8 = {9.3^x}\) \( \Leftrightarrow {8.3^x} = 8\) \( \Leftrightarrow {3^x} = 1\) \( \Leftrightarrow x = 0.\)

Bài 64. Giải các phương trình sau:

a) \({\log _2}[x(x – 1)] = 1.\)

b) \({\log _2}x + {\log _2}(x – 1) = 1.\)

Lời giải:

a) \({\log _2}[x(x – 1)] = 1\) \( \Leftrightarrow x(x – 1) = 2\) \( \Leftrightarrow {x^2} – x – 2 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = – 1}\\

{x = 2}

\end{array}} \right..\)

b) \({\log _2}x + {\log _2}(x – 1) = 1.\)

Điều kiện: \(x /> 1.\)

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương với phương trình:

\({x^2} – x – 2 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = – 1\,\,{\rm{(loại)}}}\\

{x = 2}

\end{array}} \right..\)

Vậy phương trình có một nghiệm \(x = 2.\)

Bài 65. Trên mặt mỗi chiếc radio đều có các vạch chia để người sử dụng dễ dàng chọn đúng sóng radio cần tìm. Biết vạch chia ở vị trí cách vạch tận cùng bên trái một khoảng \(d\) \((cm)\) thì ứng với tần số \(F = k.{a^d}\) \((kHz)\), trong đó \(k\) và \(a\) là hai hằng số được chọn sao cho vạch tận cùng bên trái ứng với tần số \(53kHz\), vạch tận cùng bên phải ứng với tần số \(160kHz\) và hai vạch này cách nhau \(12cm.\)

a) Hãy tính \(k\) và \(a\) (tính \(a\) chính xác đến hàng phần nghìn).

b) Giả sử đã cho \(F\), hãy giải phương trình \(k.{a^d} = F\) với ẩn \(d.\)

c) Áp dụng kết quả của b, hãy điền vào ô trống trong bảng sau (kết quả chính xác đến hàng phần trăm).

Lời giải:

a) Theo giả thiết ta có: \(d = 0\) \( \Rightarrow F = 53\) \( \Leftrightarrow k.{a^0} = 53\) \( \Leftrightarrow k = 53.\)

Và \(d = 12\) \( \Rightarrow F = 160\) \( \Leftrightarrow k.{a^{12}} = 160\) \( \Leftrightarrow 53.{a^{12}} = 160\) \( \Leftrightarrow a = \sqrt[{12}]{{\frac{{160}}{{53}}}} \approx 1,096.\)

b) \(k.{a^d} = F\) \( \Leftrightarrow {a^d} = \frac{F}{k}\) \( \Leftrightarrow d = {\log _a}\frac{F}{k} = {\log _{\sqrt[{12}]{{\frac{{160}}{{53}}}}}}\left( {\frac{F}{{53}}} \right).\)

c) Từ câu b \( \Rightarrow d = 25,119.\lg F – 43,312.\)

(Do yêu cầu kết quả tính chính xác đến hàng phần trăm).

Vậy ta có bảng:

Bài 66. Giải các phương trình sau:

a) \({2^{x + 1}}{.5^x} = 200.\)

b) \(0,{125.4^{2x – 3}} = {(4\sqrt 2 )^x}.\)

Lời giải:

a) \({2^{x + 1}}{.5^x} = 200\) \( \Leftrightarrow {2.10^x} = 200\) \( \Leftrightarrow {10^x} = 100\) \( \Leftrightarrow x = 2.\)

Cách khác: \({2^{x + 1}}{.5^x} = 200\) \( \Leftrightarrow {2^{x + 1}}{.5^x} = {2^3}{.5^2}\) \( \Leftrightarrow {2^{x – 2}}{.5^{x – 2}} = 1\) \( \Leftrightarrow {10^{x – 2}} = 1.\)

\( \Leftrightarrow x – 2 = 0\) \( \Leftrightarrow x = 2.\)

b) \(0,{125.4^{2x – 3}} = {(4\sqrt 2 )^x}\) \( \Leftrightarrow {(0,5)^3}{.4^{2x – 3}} = {(4\sqrt 2 )^x}.\)

\( \Leftrightarrow {2^{ – 3}}{.4^{2x – 3}} = {\left( {{{4.2}^{\frac{1}{2}}}} \right)^x}\) \( \Leftrightarrow {2^{ – 3}}{.2^{4x – 6}} = {\left( {{2^{\frac{5}{2}}}} \right)^x}.\)

\( \Leftrightarrow {2^{4x – 9}} = {2^{\frac{{5x}}{2}}}\) \( \Leftrightarrow 4x – 9 = \frac{{5x}}{2}\) \( \Leftrightarrow x = 6.\)

Bài 67. Giải các phương trình sau:

a) \({\log _2}x + {\log _4}x = {\log _{\frac{1}{2}}}\sqrt 3 .\)

b) \({\log _{\sqrt 3 }}x.{\log _3}x.{\log _9}x = 8.\)

Lời giải:

a) \({\log _2}x + {\log _4}x = {\log _{\frac{1}{2}}}\sqrt 3 .\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}x + \frac{1}{2}{\log _2}x = – {\log _2}\sqrt 3 \) \( \Leftrightarrow {\log _2}x = – \frac{2}{3}{\log _2}\sqrt 3 .\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}x = {\log _2}{3^{ – \frac{1}{3}}}\) \( \Leftrightarrow x = {3^{ – \frac{1}{3}}}.\)

b) \({\log _{\sqrt 3 }}x.{\log _3}x.{\log _9}x = 8\) \( \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 3 }}x.\left( {\frac{1}{2}{{\log }_{\sqrt 3 }}x} \right)\left( {\frac{1}{4}{{\log }_{\sqrt 3 }}x} \right) = 8.\)

\( \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_{\sqrt 3 }}x} \right)^3} = 64\) \( \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 3 }}x = 4\) \( \Leftrightarrow x = {(\sqrt 3 )^4} = 9.\)

Cách khác:

\({\log _{\sqrt 3 }}x.{\log _3}x.{\log _9}x = 8\) \( \Leftrightarrow 2{\log _3}x.{\log _3}x.\frac{1}{2}{\log _3}x = 8\) \( \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_3}x} \right)^3} = 8.\)

\( \Leftrightarrow {\log _3}x = 2\) \( \Leftrightarrow x = {3^2} = 9.\)

Bài 68. Giải các phương trình sau:

a) \({3^{x + 1}} + {18.3^{ – x}} = 29.\)

b) \({27^x} + {12^x} = {2.8^x}.\)

Lời giải:

a) \({3^{x + 1}} + {18.3^{ – x}} = 29\) \( \Leftrightarrow {3.3^x} + 18.\frac{1}{{{3^x}}} = 29\) \( \Leftrightarrow 3.{\left( {{3^x}} \right)^2} – {29.3^x} + 18 = 0.\)

Đặt \(t = {3^x}\) \((t /> 0).\)

Phương trình trở thành \(3{t^2} – 29t + 18 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{t = 9}\\

{t = \frac{2}{3}}

\end{array}} \right..\)

+ Với \(t = 9\) \( \Rightarrow {3^x} = 9\) \( \Leftrightarrow x = 2.\)

+ Với \(t = \frac{2}{3}\) \( \Rightarrow {3^x} = \frac{2}{3}\) \( \Leftrightarrow x = {\log _3}\frac{2}{3}.\)

b) \({27^x} + {12^x} = {2.8^x}\) \( \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{3x}} + {\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} – 2 = 0.\)

Đặt \(t = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^x}.\) Điều kiện \(t /> 0.\) Phương trình trở thành \({t^3} + t – 2 = 0.\)

\( \Leftrightarrow (t – 1)\left( {{t^2} + t + 2} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow t = 1.\)

Với \(t = 1\) \( \Rightarrow {\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} = 1\) \( \Leftrightarrow x = 0.\)

Bài 69. Giải các phương trình sau:

a) \({\lg ^2}{x^3} – 20\lg \sqrt x + 1 = 0.\)

b) \(\frac{{{{\log }_2}x}}{{{{\log }_4}2x}} = \frac{{{{\log }_8}4x}}{{{{\log }_{16}}8x}}.\)

c) \({\log _{9x}}27 – {\log _{3x}}3 + {\log _9}243 = 0.\)

Lời giải:

a) \({\lg ^2}{x^3} – 20\lg \sqrt x + 1 = 0\) \( \Leftrightarrow 9{\lg ^2}x – 10\lg x + 1 = 0.\)

Đặt \(t = \lg x.\)

Phương trình trở thành: \(9{t^2} – 10t + 1 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{t = 1}\\

{t = \frac{1}{9}}

\end{array}} \right..\)

+ Với \(t = 1\) \( \Rightarrow \lg x = 1\) \( \Leftrightarrow x = 10.\)

+ Với \(t = \frac{1}{9}\) \( \Rightarrow \lg x = \frac{1}{9}\) \( \Leftrightarrow x = \sqrt[9]{{10}}.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm: \(x = 10\) và \(x = \sqrt[9]{{10}}.\)

b) \(\frac{{{{\log }_2}x}}{{{{\log }_4}2x}} = \frac{{{{\log }_8}4x}}{{{{\log }_{16}}8x}}.\)

Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x /> 0}\\

{x \ne \frac{1}{2}}\\

{x \ne \frac{1}{8}}

\end{array}} \right..\)

Phương trình đã cho tương đương với:

\(\frac{{{{\log }_2}x}}{{\frac{1}{2}\left( {1 + {{\log }_2}x} \right)}} = \frac{{\frac{1}{3}\left( {2 + {{\log }_2}x} \right)}}{{\frac{1}{4}\left( {3 + {{\log }_2}x} \right)}}\) \( \Leftrightarrow \log _2^2x + 3{\log _2}x – 4 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{{{\log }_2}x = 1}\\

{{{\log }_2}x = – 4}

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 2}\\

{x = \frac{1}{{16}}}

\end{array}} \right..\)

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: \(S = \left\{ {2;\frac{1}{{16}}} \right\}.\)

c) \({\log _{9x}}27 – {\log _{3x}}3 + {\log _9}243 = 0.\)

Điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x /> 0}\\

{x \ne \frac{1}{9}}\\

{x \ne \frac{1}{3}}

\end{array}} \right..\)

Phương trình đã cho tương đương với:

\(\frac{3}{{2 + {{\log }_3}x}} – \frac{1}{{1 + {{\log }_3}x}} + \frac{5}{2} = 0\) \( \Leftrightarrow 5\log _3^2x + 19{\log _3}x + 12 = 0.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{{{\log }_3}x = – 3}\\

{{{\log }_3}x = – \frac{4}{5}}

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = {3^{ – 3}}}\\

{x = {3^{ – \frac{4}{5}}}}

\end{array}} \right..\)

Vậy phương trình có tập nghiệm là \(S = \left\{ {{3^{ – 3}};{3^{ – \frac{4}{5}}}} \right\}.\)

Bài 70. Giải các phương trình sau:

a) \({3^{{4^x}}} = {4^{{3^x}}}.\)

b) \({3^{2 – {{\log }_3}x}} = 81x.\)

c) \({3^x}{.8^{\frac{x}{{x + 1}}}} = 36.\)

d) \({x^6}{.5^{ – {{\log }_x}5}} = {5^{ – 5}}.\)

Lời giải:

a) \({3^{{4^x}}} = {4^{{3^x}}}\) \( \Leftrightarrow {4^x} = {3^x}{\log _3}4\) \( \Leftrightarrow {\left( {\frac{4}{3}} \right)^x} = {\log _3}4\) \( \Leftrightarrow x = {\log _{\frac{4}{3}}}\left( {{{\log }_3}4} \right).\)

b) \({3^{2 – {{\log }_3}x}} = 81x.\)

Điều kiện: \(x /> 0.\)

Lấy logarit hai vế ta được:

\(2 – {\log _3}x = 4 + {\log _3}x\) \( \Leftrightarrow {\log _3}x = – 1\) \( \Leftrightarrow x = {3^{ – 1}}.\)

c) \({3^x}{.8^{\frac{x}{{x + 1}}}} = 36.\)

Điều kiện: \(x \ne – 1.\)

Logarit hóa hai vế ta được:

\(x + \frac{x}{{x + 1}}{\log _3}8 = {\log _3}36\) \( \Leftrightarrow {x^2} + \left( {{{\log }_3}2 – 1} \right)x – \left( {2 + 2{{\log }_3}2} \right) = 0.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 2}\\

{x = – \left( {1 + {{\log }_3}2} \right)}

\end{array}} \right..\)

d) \({x^6}{.5^{ – {{\log }_x}5}} = {5^{ – 5}}.\)

Điều kiện: \(0 < x \ne 1.\)

Logarit hóa hai vế theo cơ số \(x\) ta được:

\(6 + \left( { – {{\log }_x}5} \right){\log _x}5 = – 5{\log _x}5\) \( \Leftrightarrow \log _x^25 – 5{\log _x}5 – 6 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{{{\log }_x}5 = – 1}\\

{{{\log }_x}5 = 6}

\end{array}} \right..\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{{x^{ – 1}} = 5}\\

{{x^6} = 5}

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = {5^{ – 1}}}\\

{x = \sqrt[6]{5}}

\end{array}} \right..\)

Bài 71. Giải các phương trình sau:

a) \({2^x} = 3 – x.\)

b) \({\log _2}x = 3 – x.\)

Lời giải:

a) Ta thấy \(x = 1\) là nghiệm. Ta chứng minh \(x = 1\) là nghiệm duy nhất. Thật vậy:

+ \(x < 1:\)

\({2^x} < {2^1} = 2.\)

\(3 – x /> 3 – 1 = 2.\)

\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{VT < 2}\\

{VP /> 2}

\end{array}} \right..\)

Phương trình vô nghiệm với \(x < 1.\)

+ \(x /> 1:\)

\({2^x} /> {2^1} = 2.\)

\(3 – x < 3 – 1 = 2.\)

\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{VT /> 2}\\

{VP < 2}

\end{array}} \right..\)

Phương trình vô nghiệm với \(x /> 2.\) Vậy phương trình có nghiệm \(x = 1.\)

b) \({\log _2}x = 3 – x.\)

Điều kiện: \(x /> 0.\)

Dễ thấy \(x = 2\) là nghiệm của phương trình. Ta chứng minh \(x = 2\) là nghiệm duy nhất. Thật vậy:

+ \(x /> 2:\)

\({\log _2}x /> {\log _2}2 = 1.\)

\(3 – x < 3 – 2 = 1.\)

\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{VT /> 1}\\

{VP < 1}

\end{array}.} \right.\)

Phương trình vô nghiệm với \(x /> 2.\)

+ \(0 < x < 2:\)

\({\log _2}x < {\log _2}2 = 1.\)

\(3 – x /> 3 – 2 = 1.\)

\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{VT < 1}\\

{VP /> 1}

\end{array}} \right..\)

Phương trình vô nghiệm với \(0 < x < 2.\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 2.\)