giải bài tập sgk hình học 12 cơ bản: khối đa diện lồi và khối đa diện đều

Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Hình học 12 cơ bản: Khối đa diện lồi và khối đa diện đều.

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 2. Cho hình lập phương \((H).\) Gọi \((H’)\) là hình bát diện đều có các đỉnh là tâm các mặt của \((H).\) Tính tỉ số diện tích toàn phần của \((H)\) và \((H’).\)

Lời giải:

Giả sử khối lập phương có cạnh bằng \(a.\) Khi đó diện tích toàn phần của nó là: \({S_1} = 6{a^2}.\)

Xét bát diện đều thu được, khi đó diện tích toàn phần của nó là \(8\) lần diện tích tam giác đều \(MQE\) (hình vẽ).

Xét tam giác \(ACD’\), ta có \(M\), \(Q\) lần lượt là trung điểm của \(AC\) và \(AD’\) nên \(MQ\) là đường trung bình của tam giác \(ACD’\), do đó \(MQ = \frac{1}{2}CD’ = \frac{1}{2}\sqrt 2 a.\)

Ta có: \({S_{\Delta MQE}} = \frac{1}{2}{\left( {\frac{1}{2}\sqrt 2 a} \right)^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2}\) \( = \frac{1}{8}{a^2}\sqrt 3 .\)

Diện tích xung quanh của bát diện đều là: \({S_2} = 8.\frac{1}{8}.{a^2}\sqrt 3 = {a^2}\sqrt 3 .\)

Do đó: \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{6{a^2}}}{{a\sqrt 3 }} = 2\sqrt 3 .\)

Bài 3. Chứng minh rằng tâm của các mặt của hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều.

Lời giải:

Gọi tâm các mặt đối diện với các đỉnh \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) lần lượt là \(A’\), \(B’\), \(C’\), \(D’.\)

Ta sẽ chứng minh cho bốn điểm \(A’\), \(B’\), \(C’\), \(D’\) tạo thành tứ diện đều.

Hiển nhiên bốn điểm đó tạo thành một tứ diện.

Gọi trung điểm các cạnh \(BC\), \(CD\), \(DB\) lần lượt là \(M\), \(N\), \(P.\) Dễ thấy: tam giác \(AMN\) đồng dạng với tam giác \(AD’B’.\)

Do đó: \(\frac{{D’B’}}{{MN}} = \frac{{AD’}}{{AM}} = \frac{2}{3}.\)

\( \Rightarrow D’B’ = \frac{2}{3}MN\) \( = \frac{2}{3}.\frac{{BD}}{2} = \frac{a}{3}\) (\(a\) là độ dài cạnh của tứ diện \(ABCD\)).

Tương tự ta cũng có: \(D’C’ = C’B’ = \frac{a}{3}.\)

Từ đó tam giác \(B’C’D’\) là tam giác đều cạnh bằng \(\frac{a}{3}.\)

Bằng cách làm hoàn toàn tương tự ta cũng chứng minh được các tam giác \(A’B’D’\), \(A’B’C’\), \(A’C’D’\) cũng là tam giác đều cạnh \(\frac{a}{3}.\) Vậy tứ diện \(A’B’C’D’\) là tứ diện đều.

Bài 4. Cho hình bát diện đều \(ABCDEF.\) Chứng minh rằng:

a) Các đoạn thẳng \(AF\), \(BD\) và \(CE\) đôi một vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

b) \(ABFD\), \(AEFC\) và \(BCDE\) là những hình vuông.

Lời giải:

a) Theo giả thiết ta có:

\(BE = ED = DC = BC.\)

\(AE = EF = FC = CA.\)

\(BF = FD = DA = AB.\)

Nên các tứ giác \(BEDC\), \(BADF\), \(AEFC\) là các hình thoi (hiển nhiên chúng là các tứ giác).

Vì vậy \(AF\), \(FC\), \(BD\) đôi một vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

b) Ở câu a ta đã chứng minh được các tứ giác \(BEDC\), \(ABFD\), \(AEFC\) là những hình thoi. Gọi \(O\) là giao điểm các đường thẳng \(BD\), \(EC\), \(AF.\)

Xét các tam giác \(AEC\) và \(BEC\), chúng bằng nhau theo trường hợp cạnh – cạnh – cạnh nên \(OA = OB\) \( \Leftrightarrow AF = BD\) \( \Rightarrow AEFC\) là hình vuông.

Hoàn toàn tương tự ta có các tứ giác còn lại là hình vuông.