tìm hệ số lớn nhất trong khai triển

Bài viết hướng dẫn phương pháp giải bài toán tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Newton (Niu-tơn), đây là dạng toán thường gặp trong chương trình Đại số và Giải tích 11: Tổ hợp và Xác suất.

1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

+ Áp dụng khai triển \({(a + b)^n}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {a^{n – k}}{b^k}.\)

+ Xác định số hạng tổng quát \(C_n^k{a^{n – k}}{b^k}\), suy ra hệ số tổng quát là một dãy số theo \({a_k}.\)

+ Xét tính tăng giảm của \({a_k}\) từ đó tìm \(k\) tương ứng.

+ Suy ra hệ số lớn nhất trong khai triển.

2. BÀI TẬP ÁP DỤNG 

Bài 1: Cho khai triển: \({(1 + 2x)^n}\) \( = {a_0} + {a_1}x + \ldots + {a_n}{x^n}\), trong đó \(n \in {N^*}\) và các hệ số \({a_0}\), \({a_1}\), …, \({a_n}\) thỏa mãn \({a_0} + \frac{{{a_1}}}{2} + \ldots + \frac{{{a_n}}}{{{2^n}}} = 4096.\) Tìm số lớn nhất trong các số \({a_0}\), \({a_1}\), …, \({a_n}.\)

Lời giải:

Ta có: \({(1 + 2x)^n}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {2^k}{x^k}.\)

Chọn \(x = \frac{1}{2}\), ta được: \(\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} = {2^n}.\)

Suy ra: \({a_0} + \frac{{{a_1}}}{2} + \ldots + \frac{{{a_n}}}{{{2^n}}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} \) \( \Leftrightarrow {2^n} = 4096\) \( \Leftrightarrow n = 12.\)

Xét số tổng quát trong khai triển là: \({a_k} = C_{12}^k{2^k}.\)

Xét dãy số \({a_k} = C_{12}^k{.2^k}\), ta có: \({a_{k + 1}} = C_{12}^{k + 1}{.2^{k + 1}}.\)

Xét \({a_k} – {a_{k + 1}} /> 0\) \( \Leftrightarrow C_{12}^k{.2^k} – C_{12}^{k + 1}{.2^{k + 1}} /> 0.\)

\( \Leftrightarrow \frac{{12!{2^k}}}{{k!(12 – k)!}} – \frac{{12!{2^{k + 1}}}}{{(k + 1)!(11 – k)!}} /> 0\) \( \Leftrightarrow \frac{{12!{2^k}}}{{k!(11 – k)!}}\left( {\frac{1}{{12 – k}} – \frac{2}{{k + 1}}} \right) /> 0.\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{12 – k}} – \frac{2}{{k + 1}} /> 0\) \( \Leftrightarrow 3k – 23 /> 0\) \( \Leftrightarrow k /> \frac{{23}}{3} \approx 7,7.\)

Do đó \({a_8} /> {a_9} /> \ldots /> {a_{12}}.\)

Tương tự: \({a_k} – {a_{k + 1}} < 0\) \( \Leftrightarrow k < \frac{{23}}{3}.\)

Do đó \({a_8} /> {a_7} /> \ldots /> {a_0}.\)

Vậy \(\max \left( {{a_0},{a_1}, \ldots ,{a_n}} \right) = {a_8}\) \( = C_{12}^8{2^8} = 126720.\)

Bài 2: Tìm \(k \in \{ 0;1;2; \ldots ;2005\} \) sao cho \(C_{2005}^k\) đạt giá trị lớn nhất.

Lời giải:

Ta có: \(C_{2005}^k\) lớn nhất \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{C_{2005}^k \ge C_{2005}^{k + 1}}\\

{C_{2005}^k \ge C_{2005}^{k – 1}}

\end{array}} \right.\) \((\forall k \in \{ 0;1;2; \ldots ;2005\} ).\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\frac{{2005!}}{{k!(2005 – k)!}} \ge \frac{{2005!}}{{(k + 1)!(2004 – k)!}}}\\

{\frac{{2005!}}{{k!(2005 – k)!}} \ge \frac{{2005!}}{{(k – 1)!(2006 – k)!}}}

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\frac{1}{{2005 – k}} \ge \frac{1}{{k + 1}}}\\

{\frac{1}{k} \ge \frac{1}{{2006 – k}}}

\end{array}} \right..\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{k + 1 \ge 2005 – k}\\

{2006 – k \ge k}

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{k \ge 1002}\\

{k \le 1003}

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow 1002 \le k \le 1003.\)

Vậy \(C_{2005}^k\) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{k = 1002}\\

{k = 1003}

\end{array}} \right..\)

Bài 3: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Newton của \({\left( {\frac{1}{3} + \frac{2}{3}x} \right)^{15}}.\)

Lời giải:

Ta có: \({\left( {\frac{1}{3} + \frac{2}{3}x} \right)^{15}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{15 – k}}\left( {\frac{2}{3}} \right){x^k}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} \frac{{{2^k}}}{{{3^{15}}}}{x^k}.\)

Gọi \({a_k}\) là hệ số của \({x^k}\) trong khai triển, với \(k = \overline {0..15} .\)

Xét dãy số \({a_k} = \frac{1}{{{3^{15}}}}C_{15}^k{2^k}.\)

Ta có: \({a_{k + 1}} = \frac{1}{{{3^{15}}}}C_{15}^{k + 1}{.2^{k + 1}}.\)

Suy ra: \({a_k} < {a_{k + 1}}\) \( \Leftrightarrow \frac{1}{{{3^{15}}}}C_{15}^k{.2^k} < \frac{1}{{{3^{15}}}}C_{15}^{k + 1}{.2^{k + 1}}\) \( \Leftrightarrow \frac{{15!}}{{k!(15 – k)!}} < \frac{{15!}}{{(k + 1)!(14 – k)!}}.2.\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{15 – k}} < \frac{2}{{k + 1}}\) \( \Leftrightarrow k + 1 < 30 – 2k\) \( \Leftrightarrow k < \frac{{29}}{3}.\)

Vậy \({a_0} < {a_1} < {a_2} < \ldots < {a_{10}}.\)

Ngược lại: \({a_k} /> {a_{k + 1}}\) \( \Leftrightarrow k /> \frac{{29}}{3}.\)

Suy ra: \({a_{10}} /> {a_{11}} /> {a_{12}} /> \ldots /> {a_{15}}.\)

Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển trên là: \({a_{10}} = \frac{{{2^{10}}}}{{{3^{15}}}}C_{15}^{10} = 3003.\frac{{{2^{10}}}}{{{3^{15}}}}.\)

Bài 4: Trong khai triển của \({\left( {\frac{1}{3} + \frac{2}{3}x} \right)^{10}}\) thành đa thức \({a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + \ldots + {a_{10}}{x^{10}}\) \(\left( {{a_k} \in R} \right).\) Tìm hệ số \({a_k}\) lớn nhất \((0 \le k \le 10).\)

Lời giải:

Ta có: \({a_{k – 1}} \le {a_k}\) \( \Leftrightarrow C_{10}^{k – 1}{.2^{k – 1}} \le C_{10}^k{.2^k}\) \( \Leftrightarrow \frac{1}{{(k – 1)!(11 – k)!}} \le \frac{2}{{k!(10 – k)!}}.\)

\( \Leftrightarrow k \le 2(11 – k)\) \( \Leftrightarrow k \le \frac{{22}}{3}.\)

Vậy hệ số \({a_7}\) là lớn nhất: \({a_7} = \frac{1}{{{3^{10}}}}.C_{10}^7{.2^7}.\)

Bài 5: Cho \(n\) là số nguyên dương cố định. Chứng minh rằng \(C_n^k\) lớn nhất nếu \(k\) là một số tự nhiên lớn nhất không vượt quá \(\frac{{n + 1}}{2}.\)

Lời giải:

Ta có: \(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!(n – k)!}}\) và \(C_n^{k – 1} = \frac{{n!}}{{(k – 1)!(n – k + 1)!}}\) \( \Rightarrow \frac{{C_n^k}}{{C_n^{k – 1}}} = \frac{{n – k + 1}}{k}.\)

Do đó: \(C_n^k /> C_n^{k – 1}\) \( \Leftrightarrow \frac{{n – k + 1}}{k} /> 1\) \( \Leftrightarrow k < \frac{{n + 1}}{2}.\)

Suy ra \(C_n^k\) lớn nhất nếu \(k\) là số tự nhiên lớn nhất không vượt quá \(\frac{{n + 1}}{2}.\)

Bài 6: Khai triển đa thức \(P(x) = {(1 + 2x)^{12}}\) thành dạng \(P(x) = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + \ldots + {a_{12}}{x^{12}}.\) Hãy tìm \(\max \left( {{a_1},{a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{12}}} \right).\)

Lời giải:

Ta có: \(P(x) = {(1 + 2x)^{12}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k} .{(2x)^k}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k} {.2^k}.{x^k}.\)

Do đó: \({a_k} = C_{12}^k{.2^k}.\)

Xét dãy số \({a_k} = C_{12}^k{.2^k}\), \(k = \overline {1..12} .\)

Ta có: \({a_{k + 1}} = C_{12}^{k + 1}{.2^{k + 1}}.\)

Suy ra \({a_k} < {a_{k + 1}}\) \( \Leftrightarrow C_{12}^k{.2^k} < C_{12}^{k + 1}{.2^{k + 1}}\) \( \Leftrightarrow \frac{{12!}}{{k!(12 – k)!}}{.2^k} < \frac{{12!}}{{(k + 1)!(11 – k)!}}{.2^{k + 1}}.\)

\( \Leftrightarrow \frac{{12!}}{{k!(12 – k).(11 – k)!}}{.2^k}\) \( < \frac{{12!}}{{(k + 1).k!(11 – k)!}}{.2.2^k}\) \( \Leftrightarrow \frac{1}{{12 – k}} < \frac{2}{{k + 1}}\) \( \Leftrightarrow k < \frac{{23}}{3}.\)

Suy ra: \({a_0} < {a_1} < {a_2} < \ldots < {a_8}.\)

Ngược lại: \({a_k} /> {a_{k + 1}}\) \( \Leftrightarrow k /> \frac{{23}}{3}\) suy ra: \({a_8} /> {a_9} /> {a_{10}} /> {a_{11}} /> {a_{12}}.\)

Vậy với mọi \(k = \overline {1..12} \), \({a_k} \le {a_8}.\)

Vậy \(\max \left( {{a_1},{a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{12}}} \right) = {a_8}\) \( = C_{12}^8{.2^8} = 126720.\)

Bài 7: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển: \({(3 + 2x)^8}.\)

Lời giải:

Ta có: \({(3 + 2x)^8}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k} {3^{8 – k}}{2^k}{x^k}.\)

Hệ số tổng quát trong khai triển là: \({a_k} = C_8^k{3^{8 – k}}{2^k}.\)

Xét dãy số \({a_k} = C_8^k{3^{8 – k}}{2^k}\), \(k = \overline {0..8} .\)

Ta có: \({a_{k + 1}} = C_8^{k + 1}{3^{7 – k}}{2^{k + 1}}.\)

Xét \({a_k} – {a_{k + 1}} /> 0\) \( \Leftrightarrow C_8^k{3^{8 – k}}{2^k} – C_8^{k + 1}{3^{7 – k}}{2^{k + 1}} /> 0.\)

\( \Leftrightarrow {3^{7 – k}}{2^k}\left( {3C_8^k – 2C_8^{k + 1}} \right) /> 0\) \( \Leftrightarrow 3.\frac{{8!}}{{k!(8 – k)!}} – 2.\frac{{8!}}{{(k + 1)!(7 – k)!}} /> 0.\)

\( \Leftrightarrow \frac{{8!}}{{k!(7 – k)!}}\left( {\frac{3}{{8 – k}} – \frac{2}{{k + 1}}} \right) /> 0\) \( \Leftrightarrow \frac{{3k – 3 – 16 + 2k}}{{(8 – k)(k + 1)}} /> 0\) \( \Leftrightarrow k /> \frac{{19}}{5}.\)

Suy ra: \({a_4} /> {a_5} /> {a_6} /> {a_7} /> {a_8}.\)

Ngược lại: \({a_k} – {a_{k + 1}} < 0\) \( \Leftrightarrow k < \frac{{19}}{5}.\)

Suy ra: \({a_4} /> {a_3} /> {a_2} /> {a_1} /> {a_0}.\)

Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển là: \({a_4} = C_8^4{3^4}{2^4} = 90720.\)

Bài 8: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển của \({(2 + 3x)^{2n}}\), trong đó \(n\) là số nguyên dương thỏa mãn: \(C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3\) \( + C_{2n + 1}^5 + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1}\) \( = 1024.\)

Lời giải:

Xét khai triển: \({(1 + x)^{2n + 1}}\) \( = C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1x\) \( + C_{2n + 1}^2{x^2} + C_{2n + 1}^3{x^3}\) \( + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1}{x^{2n + 1}}.\)

Chọn \(x= 1\), ta được: \(C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1\) \( + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^3\) \( + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1} = {2^{2n + 1}}\) \((*).\)

Chọn \(x = – 1\), ta được: \(C_{2n + 1}^0 – C_{2n + 1}^1\) \( + C_{2n + 1}^2 – C_{2n + 1}^3\) \( + \ldots – C_{2n + 1}^{2n + 1} = 0.\)

Từ \((*)\) suy ra: \(2\left( {C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3 + C_{2n + 1}^5 + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1}} \right)\) \( = {2^{2n + 1}}.\)

\( \Leftrightarrow C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3 + C_{2n + 1}^5 + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1} = {2^{2n}}.\)

Theo giả thiết ta có: \({2^{2n}} = 1024 = {2^{10}}\) \( \Leftrightarrow n = 5.\)

Từ đó suy ra: \({(2 + 3x)^{2n}}\) \( = {(2 + 3x)^{10}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {2^{10 – k}}{(3x)^k}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{10} {{3^k}} .C_{10}^k{2^{10 – k}}{x^k}.\)

Xét dãy số \({a_k} = {3^k}.C_{10}^k{2^{10 – k}}\), \(k = \overline {0..10} .\)

Ta có: \({a_{k + 1}} = {3^{k + 1}}.C_{10}^{k + 1}{2^{9 – k}}.\)

Ta có: \({a_k} /> {a_{k + 1}}\) \( \Leftrightarrow {a_k} – {a_{k + 1}} /> 0\) \( \Leftrightarrow {3^k}.C_{10}^k{2^{10 – k}} – {3^{k + 1}}.C_{10}^{k + 1}{2^{9 – k}} /> 0.\)

\( \Leftrightarrow {3^k}{2^{9 – k}}\left( {2C_{10}^k – 3C_{10}^{k + 1}} \right) /> 0\) \( \Leftrightarrow 2.\frac{{10!}}{{k!(10 – k)!}} – 3.\frac{{10!}}{{(k + 1)!(9 – k)!}} /> 0.\)

\( \Leftrightarrow \frac{{10!}}{{k!(9 – k)!}}\left( {\frac{2}{{10 – k}} – \frac{3}{{k + 1}}} \right) /> 0\) \( \Leftrightarrow \frac{{10!}}{{k!(9 – k)!}}\left( {\frac{{5k – 28}}{{(10 – k)(k + 1)}}} \right) /> 0\) \( \Leftrightarrow k /> \frac{{28}}{5}.\)

Suy ra: \({a_6} /> {a_7} /> \ldots /> {a_{10}}.\)

Ngược lại: \({a_k} < {a_{k + 1}}\) \( \Leftrightarrow k < \frac{{28}}{5}.\)

Suy ra: \({a_6} /> {a_7} /> … /> {a_{10}}.\)

Ngược lại: \({a_k} < {a_{k + 1}}\) \( \Leftrightarrow k < \frac{{28}}{5}.\)

Suy ra: \({a_6} /> {a_5} /> … /> {a_0}.\)

Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển là: \({a_6} = {3^6}.C_{16}^6{2^4} = 2449440.\)

Bài 9: Tìm hệ số có giá trị lớn nhất của khai triển: \({(1 + x)^n}\), biết rằng tổng các hệ số bằng \(4096.\)

Lời giải:

Xét khai triển \({(1 + x)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {x^k}.\)

Chọn \(x = 1\), ta được: \(\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} = {2^n}.\)

Theo giả thiết ta có: \({2^n} = 4096\) \( \Leftrightarrow n = 12.\)

Suy ra: \({(1 + x)^n}\) \( = {(1 + x)^{12}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k} {x^k}.\)

Xét dãy số \({a_k} = C_{12}^k.\)

Ta có: \({a_k} \ge {a_{k + 1}}\) \( \Leftrightarrow C_{12}^k \ge C_{12}^{k + 1}\) \( \Leftrightarrow \frac{{12!}}{{k!(12 – k)!}} \ge \frac{{12!}}{{(k + 1)!(11 – k)!}}.\)

\( \Leftrightarrow \frac{{12!}}{{k!(12 – k)(11 – k)!}} \ge \frac{{12!}}{{(k + 1)k!(11 – k)!}}\) \( \Leftrightarrow \frac{1}{{(12 – k)}} \ge \frac{1}{{(k + 1)}}\) \( \Leftrightarrow k \ge \frac{{13}}{2}.\)

Suy ra: \({a_7} \ge {a_8} \ge \ldots \ge {a_{12}}.\)

Ngược lại: \({a_k} \le {a_{k + 1}}\) \( \Leftrightarrow k \le \frac{{13}}{2}.\)

Suy ra: \({a_7} \ge {a_6} \ge \ldots \ge {a_0}.\)

Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển là: \({a_7} = C_{12}^7 = 792.\)