Bài 1. Biến ngẫu nhiên rời rạc

Bài 1. Biến ngẫu nhiên rời rạc - Chuyên đề 3. Biến ngẫu nhiên rời rạc - Toán 12 Chân trời sáng tạo

1. Giới thiệu chung về biến ngẫu nhiên rời rạc

Biến ngẫu nhiên rời rạc là một biến ngẫu nhiên chỉ có thể nhận một số hữu hạn các giá trị hoặc một số vô hạn các giá trị đếm được. Nói cách khác, tập hợp các giá trị mà biến ngẫu nhiên có thể nhận là một tập hợp rời rạc. Ví dụ, số lần tung đồng xu cho đến khi xuất hiện mặt ngửa, số lượng sản phẩm lỗi trong một lô hàng, số học sinh đạt điểm giỏi trong một lớp học là những ví dụ về biến ngẫu nhiên rời rạc.

2. Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

Phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiên rời rạc mô tả khả năng biến ngẫu nhiên nhận mỗi giá trị có thể. Phân phối xác suất thường được biểu diễn dưới dạng một bảng hoặc một công thức. Để một hàm được coi là phân phối xác suất, nó phải thỏa mãn hai điều kiện sau:

• Điều kiện 1: P(x_i) ≥ 0 với mọi i.

• Điều kiện 2: ∑P(x_i) = 1.

3. Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc

Có một số số đặc trưng quan trọng được sử dụng để mô tả biến ngẫu nhiên rời rạc:

3.1. Kỳ vọng (Giá trị trung bình)

Kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên rời rạc, ký hiệu là E(X), là giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên. Nó được tính bằng công thức:

E(X) = ∑x_i * P(x_i)

3.2. Phương sai

Phương sai của một biến ngẫu nhiên rời rạc, ký hiệu là Var(X), là một thước đo mức độ phân tán của biến ngẫu nhiên xung quanh kỳ vọng. Nó được tính bằng công thức:

Var(X) = ∑(x_i - E(X))² * P(x_i)

3.3. Độ lệch chuẩn

Độ lệch chuẩn của một biến ngẫu nhiên rời rạc, ký hiệu là σ(X), là căn bậc hai của phương sai. Nó được tính bằng công thức:

σ(X) = √Var(X)

4. Ví dụ minh họa

Xét một biến ngẫu nhiên X biểu thị số lần xuất hiện mặt sáu khi tung một con xúc xắc công bằng hai lần. Các giá trị có thể của X là 0, 1, và 2. Ta có thể tính phân phối xác suất của X như sau:

• P(X = 0) = 25/36

• P(X = 1) = 10/36

• P(X = 2) = 1/36

Từ đó, ta có thể tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của X.

5. Bài tập áp dụng

Để củng cố kiến thức về biến ngẫu nhiên rời rạc, các em hãy giải các bài tập sau:

1. Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp. Gọi X là số quả bóng đỏ được lấy ra. Tìm phân phối xác suất của X.

2. Một người chơi xổ số mua 10 vé số. Xác suất trúng thưởng của mỗi vé số là 0.1. Gọi Y là số vé số trúng thưởng. Tìm kỳ vọng và phương sai của Y.

6. Kết luận

Bài học Bài 1. Biến ngẫu nhiên rời rạc đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản về biến ngẫu nhiên rời rạc, phân phối xác suất và các số đặc trưng của nó. Việc nắm vững những kiến thức này là rất quan trọng để hiểu và giải quyết các bài toán liên quan đến xác suất và thống kê.