Bài 1. Hai đường thẳng vuông góc

Bài 1. Hai đường thẳng vuông góc - SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo: Giải chi tiết và lý thuyết

Bài 1 trong sách bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo, chương 8, tập trung vào việc củng cố kiến thức về điều kiện hai đường thẳng vuông góc trong không gian. Để hiểu rõ hơn về chủ đề này, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản và các định lý liên quan.

I. Lý thuyết trọng tâm về hai đường thẳng vuông góc

Trong không gian, hai đường thẳng được gọi là vuông góc khi và chỉ khi góc giữa chúng bằng 90 độ. Để xác định hai đường thẳng vuông góc, ta có thể sử dụng các phương pháp sau:

• Sử dụng tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương: Nếu hai đường thẳng d₁ và d₂ có vectơ chỉ phương lần lượt là a và b, thì d₁ ⊥ d₂ khi và chỉ khi a.b = 0.
• Sử dụng tính chất của hình chiếu: Nếu hình chiếu của một đường thẳng lên mặt phẳng chứa đường thẳng kia là một đường thẳng vuông góc với đường thẳng đó, thì hai đường thẳng đó vuông góc với nhau.

II. Giải bài tập Bài 1. Hai đường thẳng vuông góc - SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Dưới đây là lời giải chi tiết cho các bài tập trong Bài 1, giúp các em hiểu rõ cách áp dụng lý thuyết vào thực tế:

Bài 1.1

Cho hai đường thẳng d₁ và d₂ có vectơ chỉ phương a = (1; 2; -1) và b = (-2; -4; 2). Chứng minh rằng d₁ ⊥ d₂.

Lời giải:

Ta tính tích vô hướng của hai vectơ a và b:

a.b = (1)(-2) + (2)(-4) + (-1)(2) = -2 - 8 - 2 = -12 ≠ 0

Vậy d₁ không vuông góc với d₂.

Bài 1.2

Cho điểm A(1; 2; 3) và đường thẳng d có phương trình tham số: {x = 2 + t; y = 1 - t; z = 4 + 2t}. Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của A lên d.

Lời giải:

Gọi H(2 + t; 1 - t; 4 + 2t) là hình chiếu vuông góc của A lên d. Khi đó, vectơ AH vuông góc với vectơ chỉ phương u = (1; -1; 2) của d.

AH = (2 + t - 1; 1 - t - 2; 4 + 2t - 3) = (1 + t; -1 - t; 1 + 2t)

AH.u = (1 + t)(1) + (-1 - t)(-1) + (1 + 2t)(2) = 0

1 + t + 1 + t + 2 + 4t = 0

6t + 4 = 0

t = -2/3

Vậy H(2 - 2/3; 1 + 2/3; 4 - 4/3) = (4/3; 5/3; 8/3)

III. Bài tập luyện tập thêm

Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải thêm các bài tập sau:

• Bài 1.3, 1.4, 1.5 trong sách bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo.
• Các bài tập tương tự về xác định hai đường thẳng vuông góc trong không gian.

Hy vọng với bài giải chi tiết và lý thuyết trọng tâm này, các em sẽ nắm vững kiến thức về hai đường thẳng vuông góc và tự tin giải các bài tập liên quan. Chúc các em học tốt!