Bài 19. Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Bài 19 trong chương 6 Toán 12 Kết nối tri thức tập 2 tập trung vào hai công thức quan trọng trong lý thuyết xác suất: công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. Việc nắm vững hai công thức này là vô cùng cần thiết để giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến xác suất có điều kiện.

I. Công thức xác suất toàn phần

Công thức xác suất toàn phần được sử dụng để tính xác suất của một biến cố khi biến cố đó có thể xảy ra thông qua một số các biến cố khác, đôi một loại trừ.

Phát biểu: Nếu B₁, B₂, ..., B_n là một hệ các biến cố đôi một loại trừ và B₁ ∪ B₂ ∪ ... ∪ B_n = Ω (với Ω là không gian mẫu), thì xác suất của biến cố A được tính theo công thức:

P(A) = P(A|B₁)P(B₁) + P(A|B₂)P(B₂) + ... + P(A|B_n)P(B_n)

Ví dụ: Một nhà máy có hai dây chuyền sản xuất. Dây chuyền 1 sản xuất 60% tổng số sản phẩm và tỷ lệ sản phẩm lỗi là 2%. Dây chuyền 2 sản xuất 40% tổng số sản phẩm và tỷ lệ sản phẩm lỗi là 3%. Tính xác suất một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên là sản phẩm lỗi.

Giải:

• Gọi A là biến cố “sản phẩm được chọn là sản phẩm lỗi”.
• Gọi B₁ là biến cố “sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền 1”.
• Gọi B₂ là biến cố “sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền 2”.

Ta có: P(B₁) = 0.6, P(B₂) = 0.4, P(A|B₁) = 0.02, P(A|B₂) = 0.03

Áp dụng công thức xác suất toàn phần:

P(A) = P(A|B₁)P(B₁) + P(A|B₂)P(B₂) = 0.02 * 0.6 + 0.03 * 0.4 = 0.012 + 0.012 = 0.024

Vậy xác suất một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên là sản phẩm lỗi là 0.024.

II. Công thức Bayes

Công thức Bayes được sử dụng để tính xác suất có điều kiện của một biến cố khi biết kết quả của một biến cố khác.

Phát biểu: Nếu B₁, B₂, ..., B_n là một hệ các biến cố đôi một loại trừ và B₁ ∪ B₂ ∪ ... ∪ B_n = Ω, thì xác suất có điều kiện P(B_i|A) được tính theo công thức:

P(B_i|A) = [P(A|B_i)P(B_i)] / P(A)

Trong đó P(A) được tính theo công thức xác suất toàn phần: P(A) = P(A|B₁)P(B₁) + P(A|B₂)P(B₂) + ... + P(A|B_n)P(B_n)

Ví dụ: Một bệnh viện thực hiện xét nghiệm để chẩn đoán một bệnh. Xét nghiệm có độ chính xác 95%, nghĩa là nếu một người mắc bệnh, xét nghiệm sẽ cho kết quả dương tính với xác suất 95%, và nếu một người không mắc bệnh, xét nghiệm sẽ cho kết quả âm tính với xác suất 95%. Biết rằng 1% dân số mắc bệnh này. Một người được xét nghiệm và kết quả dương tính. Tính xác suất người đó mắc bệnh.

Giải:

• Gọi A là biến cố “kết quả xét nghiệm dương tính”.
• Gọi B là biến cố “người đó mắc bệnh”.

Ta có: P(B) = 0.01, P(¬B) = 0.99, P(A|B) = 0.95, P(¬A|¬B) = 0.95 => P(A|¬B) = 0.05

Áp dụng công thức xác suất toàn phần:

P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|¬B)P(¬B) = 0.95 * 0.01 + 0.05 * 0.99 = 0.0095 + 0.0495 = 0.059

Áp dụng công thức Bayes:

P(B|A) = [P(A|B)P(B)] / P(A) = (0.95 * 0.01) / 0.059 ≈ 0.161

Vậy xác suất người đó mắc bệnh là khoảng 16.1%.

III. Bài tập vận dụng

Để củng cố kiến thức về công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes, các em có thể tham khảo các bài tập sau trong SGK Toán 12 Kết nối tri thức tập 2:

• Bài tập 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Loigiai.com.vn cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho tất cả các bài tập trong SGK, giúp các em tự tin giải quyết các bài toán xác suất.

IV. Kết luận

Bài 19 đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản và quan trọng về công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. Việc hiểu rõ và vận dụng linh hoạt hai công thức này sẽ giúp các em giải quyết hiệu quả các bài toán xác suất trong chương trình Toán 12 và các ứng dụng thực tế.

Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao!