Bài 19. Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Bài 19: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes - SBT Toán 12 Kết nối tri thức

I. Giới thiệu chung

Trong lý thuyết xác suất, công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes là hai công cụ mạnh mẽ giúp chúng ta tính toán xác suất của một sự kiện khi thông tin về sự kiện đó được chia thành các trường hợp khác nhau. Việc hiểu và áp dụng thành thạo hai công thức này là rất quan trọng đối với học sinh lớp 12 trong chương trình Toán học.

II. Công thức xác suất toàn phần

1. Phát biểu:

Nếu B₁, B₂, ..., B_n là một hệ các sự kiện xung khắc đôi một và hợp của chúng bằng sự kiện A, thì xác suất của A được tính theo công thức:

P(A) = P(B₁)P(A|B₁) + P(B₂)P(A|B₂) + ... + P(B_n)P(A|B_n)

Trong đó:

• P(A) là xác suất của sự kiện A.
• P(B_i) là xác suất của sự kiện B_i (i = 1, 2, ..., n).
• P(A|B_i) là xác suất có điều kiện của sự kiện A khi biết sự kiện B_i xảy ra.

2. Ví dụ minh họa:

Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Rút ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp. Tính xác suất để có ít nhất một quả bóng đỏ.

Giải:

Gọi A là sự kiện “có ít nhất một quả bóng đỏ”. Khi đó, A^c là sự kiện “không có quả bóng đỏ nào”, tức là cả hai quả bóng đều màu xanh.

Ta có: P(A) = 1 - P(A^c)

P(A^c) = C₃² / C₈² = 3/28

Vậy, P(A) = 1 - 3/28 = 25/28

III. Công thức Bayes

1. Phát biểu:

Nếu B₁, B₂, ..., B_n là một hệ các sự kiện xung khắc đôi một và hợp của chúng bằng sự kiện A, thì xác suất có điều kiện của B_i khi biết A xảy ra được tính theo công thức:

P(B_i|A) = [P(A|B_i)P(B_i)] / P(A)

Trong đó:

• P(B_i|A) là xác suất có điều kiện của sự kiện B_i khi biết sự kiện A xảy ra.
• P(A|B_i) là xác suất có điều kiện của sự kiện A khi biết sự kiện B_i xảy ra.
• P(B_i) là xác suất của sự kiện B_i.
• P(A) là xác suất của sự kiện A.

2. Ví dụ minh họa:

Một nhà máy có hai dây chuyền sản xuất. Dây chuyền 1 sản xuất 60% sản phẩm và tỷ lệ sản phẩm lỗi là 2%. Dây chuyền 2 sản xuất 40% sản phẩm và tỷ lệ sản phẩm lỗi là 3%. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm từ nhà máy. Nếu sản phẩm đó bị lỗi, xác suất để nó được sản xuất từ dây chuyền 1 là bao nhiêu?

Giải:

Gọi A là sự kiện “sản phẩm bị lỗi”.

Gọi B₁ là sự kiện “sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền 1”.

Gọi B₂ là sự kiện “sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền 2”.

Ta có: P(B₁) = 0.6, P(B₂) = 0.4, P(A|B₁) = 0.02, P(A|B₂) = 0.03

P(A) = P(A|B₁)P(B₁) + P(A|B₂)P(B₂) = 0.02 * 0.6 + 0.03 * 0.4 = 0.024

P(B₁|A) = [P(A|B₁)P(B₁)] / P(A) = (0.02 * 0.6) / 0.024 = 0.5

IV. Bài tập áp dụng

Các em hãy tự giải các bài tập trong sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức để củng cố kiến thức về công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. Loigiai.com.vn sẽ cung cấp lời giải chi tiết cho các bài tập này trong thời gian sớm nhất.

V. Kết luận

Bài 19 đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản và quan trọng về công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. Hy vọng rằng, với những kiến thức này, các em sẽ tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến xác suất.