Bài 2. Công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes

Bài 2. Công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes - SBT Toán 12 - Cánh diều

Bài 2 trong sách bài tập Toán 12 Cánh diều tập trung vào hai khái niệm cốt lõi của lý thuyết xác suất: công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. Việc nắm vững hai công thức này là vô cùng quan trọng, không chỉ cho việc giải quyết các bài toán trong sách giáo khoa mà còn là nền tảng cho các ứng dụng thực tế của xác suất trong nhiều lĩnh vực khác.

1. Công thức xác suất toàn phần

Công thức xác suất toàn phần được sử dụng để tính xác suất của một biến cố khi biến cố đó có thể xảy ra thông qua một số các biến cố khác, đôi một loại trừ.

Phát biểu: Giả sử A là một biến cố. Gọi B₁, B₂, ..., B_n là một hệ các biến cố đôi một loại trừ và tổng của chúng là không gian mẫu Ω (B₁ ∪ B₂ ∪ ... ∪ B_n = Ω). Khi đó, xác suất của biến cố A được tính theo công thức:

P(A) = P(A|B₁)P(B₁) + P(A|B₂)P(B₂) + ... + P(A|B_n)P(B_n)

Ví dụ minh họa: Một nhà máy có hai dây chuyền sản xuất. Dây chuyền 1 sản xuất 60% tổng số sản phẩm và tỷ lệ sản phẩm lỗi là 2%. Dây chuyền 2 sản xuất 40% tổng số sản phẩm và tỷ lệ sản phẩm lỗi là 3%. Tính xác suất một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên là sản phẩm lỗi.

Giải:

• Gọi A là biến cố “sản phẩm được chọn là sản phẩm lỗi”.
• Gọi B₁ là biến cố “sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền 1”.
• Gọi B₂ là biến cố “sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền 2”.

Ta có:

• P(B₁) = 0.6
• P(B₂) = 0.4
• P(A|B₁) = 0.02
• P(A|B₂) = 0.03

Áp dụng công thức xác suất toàn phần:

P(A) = P(A|B₁)P(B₁) + P(A|B₂)P(B₂) = 0.02 * 0.6 + 0.03 * 0.4 = 0.012 + 0.012 = 0.024

Vậy, xác suất một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên là sản phẩm lỗi là 2.4%.

2. Công thức Bayes

Công thức Bayes được sử dụng để tính xác suất có điều kiện của một biến cố khi biết kết quả của một biến cố khác.

Phát biểu: Giả sử A và B là hai biến cố. Khi đó, xác suất của biến cố A khi biết biến cố B đã xảy ra được tính theo công thức:

P(A|B) = [P(B|A)P(A)] / P(B)

Trong đó, P(B) có thể được tính bằng công thức xác suất toàn phần.

Ví dụ minh họa: Sử dụng dữ liệu từ ví dụ trên, tính xác suất sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền 1 khi biết sản phẩm đó là sản phẩm lỗi.

Giải:

• Gọi A là biến cố “sản phẩm được chọn là sản phẩm lỗi”.
• Gọi B₁ là biến cố “sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền 1”.

Ta cần tính P(B₁|A).

Áp dụng công thức Bayes:

P(B₁|A) = [P(A|B₁)P(B₁)] / P(A) = (0.02 * 0.6) / 0.024 = 0.012 / 0.024 = 0.5

Vậy, xác suất sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền 1 khi biết sản phẩm đó là sản phẩm lỗi là 50%.

3. Bài tập áp dụng

Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập sau trong sách bài tập Toán 12 Cánh diều:

1. Bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

4. Lưu ý khi giải bài tập

• Xác định rõ các biến cố và mối quan hệ giữa chúng.
• Sử dụng đúng công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes.
• Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính hợp lý.

Hy vọng bài viết này đã giúp các em hiểu rõ hơn về công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. Chúc các em học tốt!