Bài 20. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách

Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách - Giải chi tiết

Bài 20 thuộc chương VII: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng, tập trung vào việc ứng dụng kiến thức về vectơ để xác định mối quan hệ giữa hai đường thẳng. Việc hiểu rõ các khái niệm và công thức trong bài học này là nền tảng quan trọng cho các kiến thức hình học nâng cao hơn.

I. Lý thuyết trọng tâm

1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng:
   • Hai đường thẳng song song: Có cùng hệ số góc và khác hệ số tự do.
   • Hai đường thẳng vuông góc: Tích hệ số góc bằng -1.
   • Hai đường thẳng cắt nhau: Không song song và không vuông góc.
   • Hai đường thẳng trùng nhau: Có cùng hệ số góc và hệ số tự do.
2. Góc giữa hai đường thẳng:

   Cho hai đường thẳng d1: y = a1x + b1 và d2: y = a2x + b2. Góc θ giữa hai đường thẳng được tính theo công thức:

   tan θ = |(a2 - a1) / (1 + a1a2)|

3. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:

   Khoảng cách d từ điểm M(x0, y0) đến đường thẳng Δ: Ax + By + C = 0 được tính theo công thức:

   d = |Ax0 + By0 + C| / √(A² + B²)

II. Luyện tập và ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng d1: 2x - y + 3 = 0 và d2: x + 2y - 1 = 0.

Giải:

Hệ số góc của d1 là a1 = 2, hệ số góc của d2 là a2 = -1/2. Vì a1 * a2 = -1 nên hai đường thẳng vuông góc với nhau.

Ví dụ 2: Tính góc giữa hai đường thẳng d1: y = x + 1 và d2: y = -x + 2.

Giải:

a1 = 1, a2 = -1. tan θ = |(-1 - 1) / (1 + 1*(-1))| = | -2 / 0 | = ∞. Vậy θ = 90°.

Ví dụ 3: Tính khoảng cách từ điểm A(1, 2) đến đường thẳng Δ: 3x + 4y - 5 = 0.

Giải:

d = |3*1 + 4*2 - 5| / √(3² + 4²) = |3 + 8 - 5| / √25 = 6 / 5 = 1.2.

III. Bài tập tự luyện

1. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng d1: x - 2y + 1 = 0 và d2: 2x + y - 3 = 0.
2. Tính góc giữa hai đường thẳng d1: y = 3x - 2 và d2: y = -2x + 1.
3. Tính khoảng cách từ điểm B(-1, 3) đến đường thẳng Δ: x - y + 2 = 0.

Hy vọng với những kiến thức và ví dụ minh họa trên, các em sẽ nắm vững nội dung Bài 20 và tự tin giải các bài tập liên quan. Chúc các em học tốt!