Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số - Giải Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo

I. Khái niệm đường tiệm cận

Đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = f(x) là đường thẳng mà đồ thị của hàm số xấp xỉ khi x hoặc y tiến tới vô cùng.

Có ba loại đường tiệm cận:

• Đường tiệm cận đứng: x = a nếu lim_x→a⁺ f(x) = ±∞ hoặc lim_x→a^- f(x) = ±∞
• Đường tiệm cận ngang: y = b nếu lim_x→+∞ f(x) = b hoặc lim_x→-∞ f(x) = b
• Đường tiệm cận xiên: y = mx + n (m ≠ 0) nếu lim_x→+∞ [f(x) - (mx + n)] / x = 0 hoặc lim_x→-∞ [f(x) - (mx + n)] / x = 0

II. Phương pháp tìm đường tiệm cận

1. Đường tiệm cận đứng:

Để tìm đường tiệm cận đứng của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Xác định các giá trị x mà hàm số không xác định.
3. Tính các giới hạn của hàm số khi x tiến tới các giá trị không xác định đó. Nếu giới hạn là vô cùng, thì x = a là đường tiệm cận đứng.

2. Đường tiệm cận ngang:

Để tìm đường tiệm cận ngang của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước sau:

1. Tính các giới hạn của hàm số khi x tiến tới +∞ và -∞.
2. Nếu giới hạn là một số b, thì y = b là đường tiệm cận ngang.

3. Đường tiệm cận xiên:

Để tìm đường tiệm cận xiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước sau:

1. Tính m = lim_x→+∞ f(x) / x hoặc m = lim_x→-∞ f(x) / x. Nếu m ≠ 0, thì y = mx + n là đường tiệm cận xiên.
2. Tính n = lim_x→+∞ [f(x) - mx] hoặc n = lim_x→-∞ [f(x) - mx].
3. Vậy phương trình đường tiệm cận xiên là y = mx + n.

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm đường tiệm cận của hàm số y = (2x + 1) / (x - 3)

Giải:

• Tập xác định: x ≠ 3
• lim_x→3⁺ (2x + 1) / (x - 3) = +∞
• lim_x→3^- (2x + 1) / (x - 3) = -∞
• Vậy x = 3 là đường tiệm cận đứng.
• lim_x→+∞ (2x + 1) / (x - 3) = 2
• lim_x→-∞ (2x + 1) / (x - 3) = 2
• Vậy y = 2 là đường tiệm cận ngang.

Ví dụ 2: Tìm đường tiệm cận của hàm số y = x² + 1 / x

Giải:

• Tập xác định: x ≠ 0
• lim_x→0⁺ (x² + 1) / x = +∞
• lim_x→0^- (x² + 1) / x = -∞
• Vậy x = 0 là đường tiệm cận đứng.
• lim_x→+∞ (x² + 1) / x = +∞
• lim_x→-∞ (x² + 1) / x = -∞
• Không có đường tiệm cận ngang.
• m = lim_x→+∞ (x² + 1) / x² = 1
• n = lim_x→+∞ [(x² + 1) / x - x] = 0
• Vậy y = x là đường tiệm cận xiên.

IV. Bài tập luyện tập

Các em hãy tự giải các bài tập sau để củng cố kiến thức về đường tiệm cận:

1. Tìm đường tiệm cận của hàm số y = (x + 2) / (x - 1)
2. Tìm đường tiệm cận của hàm số y = x³ / (x² + 1)
3. Tìm đường tiệm cận của hàm số y = (x² - 1) / (x + 1)

Hy vọng với bài viết này, các em đã nắm vững kiến thức về đường tiệm cận và có thể áp dụng để giải các bài tập một cách hiệu quả. Chúc các em học tốt!