Bài 3. Phép đối xứng trục

Bài 3. Phép đối xứng trục - Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức

1. Định nghĩa phép đối xứng trục:

Phép đối xứng trục D_a biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho đường thẳng a là đường trung trực của đoạn thẳng MM’. Đường thẳng a được gọi là trục đối xứng.

Ký hiệu: D_a(M) = M’

2. Tính chất của phép đối xứng trục:

• Bảo toàn khoảng cách: M’N’ = MN với mọi M, N và M’, N’ là ảnh của M, N qua phép đối xứng trục D_a.
• Bảo toàn góc: ∠M’N’P’ = ∠MNP với mọi M, N, P và M’, N’, P’ là ảnh của M, N, P qua phép đối xứng trục D_a.
• Biến đường thẳng thành đường thẳng: Nếu đường thẳng Δ vuông góc với trục đối xứng a thì Δ’ = Δ. Nếu đường thẳng Δ không vuông góc với trục đối xứng a thì Δ’ song song với Δ.
• Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

3. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng a có phương trình Ax + By + C = 0. Phép đối xứng trục D_a biến điểm M(x₀; y₀) thành điểm M’(x’; y’) có tọa độ được xác định bởi:

• x’ = x₀ - 2A(Ax₀ + By₀ + C) / (A² + B²)
• y’ = y₀ - 2B(Ax₀ + By₀ + C) / (A² + B²)

4. Ví dụ minh họa:

Cho điểm M(2; 3) và đường thẳng a có phương trình x - y + 1 = 0. Tìm tọa độ điểm M’ là ảnh của M qua phép đối xứng trục D_a.

Giải:

Ta có A = 1, B = -1, C = 1, x₀ = 2, y₀ = 3.

Ax₀ + By₀ + C = 1*2 + (-1)*3 + 1 = 0

A² + B² = 1² + (-1)² = 2

x’ = 2 - 2*1*(0) / 2 = 2

y’ = 3 - 2*(-1)*(0) / 2 = 3

Vậy M’(2; 3). Trong trường hợp này, điểm M nằm trên đường thẳng a nên ảnh của nó qua phép đối xứng trục chính là điểm M.

5. Bài tập áp dụng:

1. Tìm ảnh của điểm A(1; 2) qua phép đối xứng trục D_x (trục Ox).
2. Tìm ảnh của điểm B(-3; 4) qua phép đối xứng trục D_y (trục Oy).
3. Cho đường thẳng d: 2x + y - 5 = 0. Tìm ảnh của điểm C(1; 1) qua phép đối xứng trục D_d.

6. Mở rộng:

Phép đối xứng trục là một phép biến hình quan trọng trong hình học, có nhiều ứng dụng trong việc giải các bài toán liên quan đến tính đối xứng, tìm điểm đối xứng, và chứng minh các tính chất hình học.

Việc nắm vững định nghĩa, tính chất và biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục là rất quan trọng để các em có thể giải quyết các bài toán một cách hiệu quả và chính xác.