Bài 3. Ứng dụng hình học của tích phân

Bài 3. Ứng dụng hình học của tích phân - SBT Toán 12 - Chân trời sáng tạo: Giải pháp chi tiết

Bài 3 trong SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo tập trung vào việc ứng dụng tích phân để tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi đường cong và trục tọa độ. Đây là một phần quan trọng trong chương trình học, giúp học sinh hiểu rõ hơn về mối liên hệ giữa tích phân và hình học.

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

Trước khi đi vào giải bài tập, chúng ta cần nắm vững các kiến thức lý thuyết sau:

• Diện tích hình phẳng: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = f(x), trục Ox, đường thẳng x = a và x = b được tính bằng công thức: ∫_a^b |f(x)| dx
• Chú ý về dấu của tích phân: Nếu f(x) > 0 trên [a, b] thì ∫_a^b f(x) dx là diện tích hình phẳng. Nếu f(x) < 0 trên [a, b] thì ∫_a^b f(x) dx là diện tích với dấu âm, do đó cần lấy trị tuyệt đối.
• Các trường hợp đặc biệt: Khi hình phẳng được giới hạn bởi hai đường cong y = f(x) và y = g(x) (với f(x) ≥ g(x) trên [a, b]), diện tích hình phẳng được tính bằng công thức: ∫_a^b [f(x) - g(x)] dx

II. Lời giải chi tiết các bài tập trong SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 3

Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng bài tập trong SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 3:

Bài 3.1

Đề bài: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x², y = 0, x = 0 và x = 2.

Lời giải:

Diện tích hình phẳng cần tính là: ∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = (2³/3) - (0³/3) = 8/3

Vậy diện tích hình phẳng là 8/3 đơn vị diện tích.

Bài 3.2

Đề bài: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = sin(x), y = 0, x = 0 và x = π.

Lời giải:

Diện tích hình phẳng cần tính là: ∫₀^π sin(x) dx = [-cos(x)]₀^π = (-cos(π)) - (-cos(0)) = (-(-1)) - (-1) = 1 + 1 = 2

Vậy diện tích hình phẳng là 2 đơn vị diện tích.

Bài 3.3

Đề bài: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x² và y = 4.

Lời giải:

Tìm giao điểm của hai đường cong: x² = 4 => x = ±2

Diện tích hình phẳng cần tính là: ∫_-2² (4 - x²) dx = [4x - x³/3]_-2² = (4*2 - 2³/3) - (4*(-2) - (-2)³/3) = (8 - 8/3) - (-8 + 8/3) = 8 - 8/3 + 8 - 8/3 = 16 - 16/3 = 32/3

Vậy diện tích hình phẳng là 32/3 đơn vị diện tích.

III. Mở rộng và bài tập vận dụng

Để hiểu sâu hơn về ứng dụng của tích phân trong hình học, các em có thể tự giải thêm các bài tập sau:

• Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x³ và y = x.
• Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = e^x, y = 0, x = 0 và x = 1.
• Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = cos(x) và y = sin(x) trong khoảng [0, π/2].

IV. Kết luận

Bài 3. Ứng dụng hình học của tích phân là một bài học quan trọng, giúp các em củng cố kiến thức về tích phân và rèn luyện kỹ năng giải bài tập. Hy vọng với lời giải chi tiết và các bài tập vận dụng trên, các em sẽ nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.