Bài 5. Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai

Bài 5 trong SGK Toán 10 - Cánh diều tập trung vào việc giải các phương trình không phải là phương trình bậc hai trực tiếp, mà có thể được biến đổi về dạng phương trình bậc hai thông qua một số phép biến đổi đại số. Việc nắm vững phương pháp này là rất quan trọng, vì nó giúp học sinh giải quyết một lớp các bài toán phức tạp hơn.

I. Lý thuyết cần nắm vững

Trước khi đi vào giải bài tập, chúng ta cần ôn lại một số kiến thức lý thuyết cơ bản:

• Phương trình bậc hai: Dạng tổng quát ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0).
• Công thức nghiệm: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
• Điều kiện có nghiệm: Δ = b² - 4ac
• Δ > 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
• Δ = 0: Phương trình có nghiệm kép.
• Δ < 0: Phương trình vô nghiệm.
• Các phép biến đổi đại số: Nhân hai vế với một số khác 0, cộng hoặc trừ hai vế với một số, khai phương hai vế (với điều kiện thích hợp).

II. Hai dạng phương trình thường gặp

1. Dạng 1: Phương trình chứa căn thức: Các phương trình có chứa căn thức bậc hai, thường cần phải bình phương hai vế để khử căn thức và đưa về dạng phương trình bậc hai. Lưu ý cần kiểm tra điều kiện xác định của căn thức và điều kiện của nghiệm sau khi bình phương.
2. Dạng 2: Phương trình chứa mẫu số: Các phương trình có chứa mẫu số, thường cần phải quy đồng mẫu số và đưa về dạng phương trình bậc hai. Lưu ý cần xác định điều kiện để mẫu số khác 0.

III. Ví dụ minh họa và lời giải chi tiết

Ví dụ 1: Giải phương trình √(2x + 1) = x - 1

Lời giải:

1. Điều kiện: 2x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ -1/2
2. Bình phương hai vế: 2x + 1 = (x - 1)² ⇔ 2x + 1 = x² - 2x + 1
3. Đưa về dạng phương trình bậc hai: x² - 4x = 0 ⇔ x(x - 4) = 0
4. Giải phương trình bậc hai: x = 0 hoặc x = 4
5. Kiểm tra điều kiện:
   • x = 0: √(2*0 + 1) = 0 - 1 ⇔ 1 = -1 (loại)
   • x = 4: √(2*4 + 1) = 4 - 1 ⇔ 3 = 3 (nhận)
6. Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x = 4

Ví dụ 2: Giải phương trình (x + 2) / (x - 1) = 3

Lời giải:

1. Điều kiện: x ≠ 1
2. Quy đồng mẫu số: x + 2 = 3(x - 1) ⇔ x + 2 = 3x - 3
3. Đưa về dạng phương trình bậc hai: 2x = 5 ⇔ x = 5/2
4. Kiểm tra điều kiện: x = 5/2 ≠ 1 (nhận)
5. Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x = 5/2

IV. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập sau:

• √(x - 2) = x - 4
• (x - 1) / (x + 2) = 2
• √(x² - 3x + 2) = x - 1

V. Lời khuyên khi giải bài tập

Khi giải các bài tập về hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai, các em cần lưu ý:

• Xác định đúng dạng phương trình để áp dụng phương pháp giải phù hợp.
• Kiểm tra điều kiện xác định của phương trình (điều kiện của căn thức, điều kiện của mẫu số).
• Kiểm tra lại nghiệm sau khi giải để đảm bảo nghiệm thỏa mãn điều kiện của phương trình.

Chúc các em học tốt môn Toán!